Асимптотичний розклад

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Асимптотичний розклад функції f(x) — формальний функціональний ряд такий, що сума довільної скінченної кількості членів цього ряду апроксимує функцію f(x) в околі деякої (можливо нескінченно віддаленої) її граничної точки. Поняття асимптотичного розкладу функції і асимптотичного ряду були введені Анрі Пуанкаре при розвязуванні задач небесної механіки. Окремі випадки асимптотичного розкладу були відкриті і застосовувалися ще в 18 ст. Асимптотичні розклади і ряди відіграють важливу роль в різних задачах математики, механіки і фізики.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай функції \varphi_{n} задовольняють властивість: \varphi_{n+1}(x) = o(\varphi_n(x)) \  (x \rightarrow L) \quad \forall n \in \N для деякої граничної точки L області визначення функції f(x). Послідовність функцій \varphi_{n}, що задовольняє вказані умови називається асимптотичною послідовністю. Ряд: \sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_{n}(x) для якого виконуються умови

f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_{n}(x) = O(\varphi_{N}(x)) \  (x \rightarrow L)

чи еквівалентно:

f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_{n}(x) = o(\varphi_{N-1}(x)) \  (x \rightarrow L).

називається асимптотичним розкладом функції f(x) або її асимптотичним рядом.

Цей факт позначається:

 f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_n(x)  \  (x \rightarrow L).

Асимптотичний розклад Ердеї[ред.ред. код]

Більш загально визначається асимптотичний розклад Ердеї. Ряд \sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_{n}(x) називається асимптотичним розкладом Ердеї функції f(x), якщо існує така асимптотична послідовність \psi_{n},що

f(x) - \sum_{n=0}^{N} a_n \varphi_{n}(x) = o(\psi_{N}(x)) \  (x \rightarrow L).

Цей факт позначається:

 f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_n(x)  \  (x \rightarrow L) \quad \{\psi_{n}(x)\}.

Такий узагальнений розклад має багато спільних властивостей із звичайним асимптотичним розкладом проте теорія такий розкладів не є добре вивченою і багато з них є малокорисними для числових обчислень, що спричинило невелике їх використання.

Приклади[ред.ред. код]

\frac{e^x}{x^x \sqrt{2\pi x}} \Gamma(x+1) \sim 1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-\frac{139}{51840x^3}-\cdots
 \  (x \rightarrow \infty)
xe^xE_1(x) \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nn!}{x^n} \   (x \rightarrow \infty)
\zeta(s) \sim \sum_{n=1}^{N-1}n^{-s} + \frac{N^{1-s}}{s-1} +
N^{-s} \sum_{m=1}^\infty \frac{B_{2m} s^{\overline{2m-1}}}{(2m)! N^{2m-1}}
де B_{2m}числа Бернуллі і s^{\overline{2m-1}}=s(s+1)(s+2)\cdots(s+2m-2) . Цей розклад справедливий для всіх комплексних s.
 \sqrt{\pi}x e^{x^2}{\rm erfc}(x) \sim 1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}.
  • Прикладом асимптотичного розкладу Ердеї, що не є звичайним розкладом є[1]:
\frac{\sin (x)}{x} \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{n!e^{-(n+1)x/2n}}{(\log x)^n} \quad (x \rightarrow \infty)\  \{(\log x)^{-n}\}.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Roderick Wong. Asymptotic approximations of integrals. Academic Press, London, 1989 ст. 13

Література[ред.ред. код]

  • Українська радянська енциклопедія. В 12-ти томах / За ред. М. Бажана. — 2-ге вид. — К.: Гол. редакція УРЕ, 1974-1985.
  • Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2. — 1103 с.
  • Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1968. — 464 с.
  • Риекстыньш Э. Я. Асимптотические разложения интегралов. — Rīga: Zinātne, 1974-1981. — 390+463+369 с.
  • Уиттекер Э., Ватсон Дж. Курс современного анализа. — М.: ГИФМЛ, 1963. — 344+516 с.
  • Харди Г. Расходящиеся ряды. — М.: ИЛ, 1951. — 504 с.
  • Эрдейи А. Асимптотические разложения. — М.: ГИФМЛ, 1962. — 128 с.
  • Bleistein N., Handlesman R. Asymptotic Expansions of Integrals. — N. Y.: Dover, 1975.