Асимптотичний розклад

Асимптотичний розклад функції f(x) — формальний функціональний ряд такий, що сума довільної скінченної кількості членів цього ряду апроксимує функцію f(x) в околі деякої (можливо нескінченно віддаленої) її граничної точки. Поняття асимптотичного розкладу функції і асимптотичного ряду були введені Анрі Пуанкаре при розвязуванні задач небесної механіки. Окремі випадки асимптотичного розкладу були відкриті і застосовувалися ще в 18 ст. Асимптотичні розклади і ряди відіграють важливу роль в різних задачах математики, механіки і фізики.

Визначення

Нехай функції $\varphi_{n}$ задовольняють властивість: $\varphi_{n+1}(x) = o(\varphi_n(x)) \ (x \rightarrow L) \quad \forall n \in \N$ для деякої граничної точки L області визначення функції f(x). Послідовність функцій $\varphi_{n}$, що задовольняє вказані умови називається асимптотичною послідовністю. Ряд: $\sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_{n}(x)$ для якого виконуються умови

$f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_{n}(x) = O(\varphi_{N}(x)) \ (x \rightarrow L)$

чи еквівалентно:

$f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_{n}(x) = o(\varphi_{N-1}(x)) \ (x \rightarrow L).$

називається асимптотичним розкладом функції f(x) або її асимптотичним рядом.

Цей факт позначається:

$f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_n(x) \ (x \rightarrow L).$

Асимптотичний розклад Ердеї

Більш загально визначається асимптотичний розклад Ердеї. Ряд $\sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_{n}(x)$ називається асимптотичним розкладом Ердеї функції f(x), якщо існує така асимптотична послідовність $\psi_{n}$,що

$f(x) - \sum_{n=0}^{N} a_n \varphi_{n}(x) = o(\psi_{N}(x)) \ (x \rightarrow L).$

Цей факт позначається:

$f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_n(x) \ (x \rightarrow L) \quad \{\psi_{n}(x)\}.$

Такий узагальнений розклад має багато спільних властивостей із звичайним асимптотичним розкладом проте теорія такий розкладів не є добре вивченою і багато з них є малокорисними для числових обчислень, що спричинило невелике їх використання.

Приклади

• Гамма-функція

$\frac{e^x}{x^x \sqrt{2\pi x}} \Gamma(x+1) \sim 1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-\frac{139}{51840x^3}-\cdots \ (x \rightarrow \infty)$

• Інтегральна показникова функція

$xe^xE_1(x) \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nn!}{x^n} \ (x \rightarrow \infty)$

• Дзета-функція Рімана

$\zeta(s) \sim \sum_{n=1}^{N-1}n^{-s} + \frac{N^{1-s}}{s-1} + N^{-s} \sum_{m=1}^\infty \frac{B_{2m} s^{\overline{2m-1}}}{(2m)! N^{2m-1}}$
де $B_{2m}$ — числа Бернуллі і $s^{\overline{2m-1}}=s(s+1)(s+2)\cdots(s+2m-2)$ . Цей розклад справедливий для всіх комплексних s.

• Функція помилок

$\sqrt{\pi}x e^{x^2}{\rm erfc}(x) \sim 1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}.$

• Прикладом асимптотичного розкладу Ердеї, що не є звичайним розкладом є:

$\frac{\sin (x)}{x} \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{n!e^{-(n+1)x/2n}}{(\log x)^n} \quad (x \rightarrow \infty)\ \{(\log x)^{-n}\}.$

Література

• Українська радянська енциклопедія. В 12-ти томах / За ред. М. Бажана. — 2-ге вид. — К.: Гол. редакція УРЕ, 1974-1985.
• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2. — 1103 с.
• Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1968. — 464 с.
• Риекстыньш Э. Я. Асимптотические разложения интегралов. — Rīga: Zinātne, 1974-1981. — 390+463+369 с.
• Уиттекер Э., Ватсон Дж. Курс современного анализа. — М.: ГИФМЛ, 1963. — 344+516 с.
• Харди Г. Расходящиеся ряды. — М.: ИЛ, 1951. — 504 с.
• Эрдейи А. Асимптотические разложения. — М.: ГИФМЛ, 1962. — 128 с.
• Bleistein N., Handlesman R. Asymptotic Expansions of Integrals. — N. Y.: Dover, 1975.