Атлас (математика)

Атлас — поняття диференціальної геометрії, що дозволяють ввести гладку структуру на многовиді .

Визначення

Нехай $K$ — числове поле (наприклад $\mathbb{R}$ або $\mathbb{C}$), $X$ — топологічний простір.

• Карта — це пара $(U,f)$, де

$U$ — відкрита множина в $X$

$f$ — гомеоморфізм з $U$ у відкриту множину в $K^n$

• Якщо області визначення двох карт $\,(U_1,f_1)$ і $\,(U_2,f_2)$ перетинаються ($U_1 \cap U_2 \neq \emptyset$), то між множинами $f_1^{-1}(U_2)$ і $f_2^{-1}(U_1)$ є взаємно обернені відображення (гомоморфізми), що називаються відображеннями склеюваннями :

  $\begin{matrix} f_{12}= f_1\circ f_2^{-1}|_{f_2(U_1 \cap U_2)} &: \ f_2(U_1 \cap U_2) \to f_1(U_1 \cap U_2) \\ f_{21}= f_2\circ f_1^{-1}|_{f_1(U_1 \cap U_2)} &: \ f_1(U_1 \cap U_2) \to f_2(U_1 \cap U_2) \end{matrix}$

• Атлас — це множина узгоджених карт $\,\{(U_\alpha,f_\alpha)\}$, $\alpha\in\mathcal A$, така, що $\,\{U_\alpha\}$ утворює покриття простору $X$. Тут $\mathcal A$ — деяка множина індексів. При цьому атлас називається гладким (класу $\,C^k$) або аналітичним, якщо функції заміни координат $\,f_{alpha_1\,\alpha_2}$ для всіх карт гладкі (класу $\,C^k$) або аналітичні.

• Два гладкі (аналітичні) атласи називаються узгодженими, якщо їх об'єднання також є гладким (аналітичним) атласом.

Література

• Lee, John M. (2006). Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6. 
• Sepanski, Mark R. (2007). Compact Lie Groups. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.