Афінна зв'язність

Аф́інна зв'́язність — лінійна зв'язність на дотичному розшаруванні многовиду. Координатними виразами афінної зв'язності є символи Крістофеля.

Означення

Нехай M є гладким многовидом і C^∞(M,TM) позначає простір векторних полів на M. Тоді афінна зв'язність на M це білінійне відображення

$\begin{matrix} C^\infty(M,TM)\times C^\infty(M,TM) & \rightarrow & C^\infty(M,TM)\\ (X,Y) & \mapsto & \nabla_X Y, \end{matrix}$

таке, що для будь-якої гладкої функції f ∈ C^∞(M,R) і будь-яких векторних полів X, Y на M:

1. $\nabla_{fX}Y = f\nabla_X Y$, тобто, $\nabla$ лінійно за першим аргументом;
2. $\nabla_X (fY) = \mathrm df(X)Y + f\nabla_XY$, тобто $\nabla$ задовольняє правилу Лейбніца за другою змінною.

Пов'язані означення

• Крученням афінної зв'язності називається вираз

  $U(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]$

тут $[{*},{*}]$ — дужки Лі

• Афінна зв'язність з нульовим крученням на рімановому многовиді, відносно якої метричний тензор коваріантного сталий, називається зв'язністю Леві-Чивіти.

• Афіна зв'язність, для якої виконується лише умова рімановості, називається рімановою зв'язністю.

Література

• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — Любое издание.
• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — Новокузнецкий физико-математический институт. — Т. 1. — 344 с. — ISBN 5-80323-180-0

Див. також

• Символи Крістофеля.