Багатовимірний нормальний розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Багатовимірний нормальний розподіл (чи багатовимірний гаусів розподіл) у теорії ймовірностей — це узагальнення одновимірного нормального розподілу.

Визначення[ред.ред. код]

Випадковий вектор \mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top}: \Omega \to \mathbb{R}^n має багатомірний нормальний розподіл, якщо виконується одне з наступних еквівалентних умов:

  • Довільна лінійна комбінація компонентів вектора \sum\limits_{i=1}^n a_i X_i має нормальний розподіл є константою.
  • Існує вектор незалежних стандартних нормальних випадкових величин \mathbf{Z}=(Z_1,\ldots, Z_m)^{\top}, дійсний вектор \mathbf{\mu} = (\mu_1,\ldots, \mu_n)^{\top} і матриця \mathbf{A} розмірності n \times m, такі що:
\mathbf{X} = \mathbf{A} \mathbf{Z} + \mathbf{\mu}.
\phi_{\mathbf{X}}(\mathbf{u}) = e^{i \mathbf{\mu}^{\top} \mathbf{u} - \frac{1}{2}\mathbf{u}^{\top} \Sigma \mathbf{u}},\; \mathbf{u} \in \mathbb{R}^n.

Зауваження[ред.ред. код]

  • Якщо розглядати тільки розподілу з невиродженою коваріаційною матрицею, то еквівалентним буде також наступне визначення:
Існує вектор \mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^n і додатно визначена симетрична матриця \mathbf{\Sigma} розмірності n \times n, такі що щільність ймовірності вектора \mathbf{X} має вид:
f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi )^{n/2} \vert \Sigma \vert^{1/2}} e^{-\frac{1}{2}(\mathbf{x} - \mathbf{\mu})^{\top} \Sigma^{-1} (\mathbf{x} - \mathbf{\mu})},\; \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n,
де \vert \Sigma\vert визначник матриці \Sigma, а \Sigma^{-1} — матриця зворотна до \Sigma


  • Вектор \mathbf{\mu} є вектором середніх значень \mathbf{X}, а \Sigma — його коваріаційна матриця
  • У випадку n = 1, багатовимірний нормальний розподіл зводиться до звичайного нормального розподілу.
  • Якщо випадковий вектор \mathbf{X} має багатовимірний нормальний розподіл, то пишуть \mathbf{X} \sim \mathrm{N}(\mathbf{\mu},\Sigma).

Властивості багатомірного нормального розподілу[ред.ред. код]

  • Якщо вектор \mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top} має багатовимірний нормальний розподіл, то його компоненти X_i, i=1,\ldots, n, мають одновимірний нормальний розподіл. Зворотне, узагалі говорячи, невірно (див. приклад [1])!
  • Якщо випадкові величини X_1,\ldots,X_n мають одномірний нормальний розподіл і спільно незалежні, те випадковий вектор \mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top} має багатомірний нормальний розподіл. Матриця коваріацій \Sigma такого вектора діагональна.
  • Якщо \mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top} має багатомірний нормальний розподіл, і його компоненти попарно некорельовані, то вони незалежні. Однак, якщо тільки компоненти X_i,\; i = 1 , \ldots, n мають одномірний нормальний розподіл і попарно не корелюють, те звідси не випливає, що вони незалежні.
Контрприклад. Нехай X \sim \mathrm{N}(0,1), а \alpha = \pm 1 з рівними ймовірностями. Тоді якщо Y = \alpha X \sim \mathrm{N}(0,1), те кореляція X і Y дорівнює нулю. Однак, ці випадкові величини залежні.
  • Багатомірний нормальний розподіл стійко щодо лінійних перетворень. Якщо \mathbf{X} \sim \mathrm{N}(\mathbf{\mu},\Sigma), а \mathbf{A} — довільна матриця розмірності m \times n, то
\mathbf{A}\mathbf{X} \sim \mathrm{N}\left(\mathbf{A}\mathbf{\mu},\mathbf{A}\Sigma \mathbf{A}^{\top}\right).

Багатомірна центральна гранична теорема[ред.ред. код]

Нехай \xi^{(1)}, \xi^{(2)},... — послідовність незалежних і однаково розподілених випадкових векторів, кожний з який має середнє E\xi^{(1)}=a і невиродженну матрицю коваріацій \Sigma . Позначимо через S_n \xi^{(1)}+...+\xi^{(n)} вектор часткових сум. Тоді при n \to \infty має місце збіжність розподілів векторів \eta^{(n)}= \frac{S_n-na}{\sqrt{n}} \Rightarrow \eta, де \eta має розподіл N_{O, \Sigma}. В умовах багатовимірної центральної граничної теореми розподіл будь-яких неперервних функцій g(\eta^{(n)}) збігається до розподілу g(\eta). У якості g(x) нам буде потрібна тільки g(
x)=\sum x_i^2=\|x\|^2.

Наслідок[ред.ред. код]

В умовах багатовимірної центральної граничної теореми має місце збіжність \|\eta^{(n)}\|^2 \Rightarrow \|\eta\|^2.

Bvn-small.png        Розподіли ймовірності
Одновимірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | біноміальний | геометричний | гіпергеометричний | логарифмічний | від'ємний біноміальний | Пуассона | рівномірний поліноміальний
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненційний | Колмогорова | Коші | Лапласа | Леві | логістичний | логнормальний | нормальний (Гауса) | Парето | рівномірний | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | багатовимірний нормальний