База топології

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

База топологіїмножина \mathfrak{B} відкритих підмножин X така, що кожна відкрита множина G\subset X є об'єднанням деяких елементів U\subset \mathfrak{B}. Поняття бази — одне з основних в топології. У багатьох питаннях, що стосуються відкритих множин деякого простору, досить обмежитися розглядом елементів його бази. Простір може мати багато баз, найбільшу з яких утворює множина всіх відкритих множин.

База топології однозначно визначає топологію. Тому для визначення деякої топології на просторі Х достатньо визначити деяку базу, а за відкриті множини взяти всі можливі об'єднання елементів бази. Щоб система множин \mathfrak{B}, була базою якоїсь топології простору Х, необхідно і достатньо, щоб вона задовольняла дві умови:

  1. Система є покриттям простору X.
  2. Для будь-яких двох елементів B1, B2 системи \mathfrak{B} і будь-якої точки x з їхнього перетину знайдеться деякий елемент B3 системи \mathfrak{B} який містить точку х і є підмножиною перетину B1, B2.

Приклади[ред.ред. код]

\mathfrak{B}_{X\times Y} = \{U\times V\,: U\in\mathfrak{B}_X,\,V\in\mathfrak{B}_Y\}

При цьому топологія на X × Y не залежатиме від того, які бази просторів X і Y використовуються для її завдання. Така топологія називається (стандартною) топологією декартового добутку топологічних просторів.

  • Топологія простору дійсних чисел \R задається системою всіх інтервалів (а,b), яка складає базу цієї топології. Аналогічно топологія простору \R^n задається базою відкритих елементів (a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times\dots\times(a_n,b_n), і ця топологія, очевидно, збігається із стандартною топологією прямого добутку просторів.
  • Прикладом множини відкритих множин, що не є базою може бути наприклад множина інтервалів виду (−∞, a) і (a, ∞) де a — деяке дійсне число.

Пов'язані означення[ред.ред. код]

  • Мінімум серед потужностей усіх баз називається вагою топологічного простору X.
  • В просторі ваги \tau існує усюди щільна множина потужності \leqslant \tau.
  • Простори із зліченною базою називаються також просторами з другою аксіомою зліченності.
  • Локальною базою простору X в точці x \in X (базою точки x) називається множина \mathfrak{B}(x) його відкритих множин, що задовольняє властивість: для будь-якого околу Ox точки x знайдеться елемент V \in \mathfrak{B}(x) такий, що x \in V \subset O_x.
  • Простори, що мають зліченну локальну базу в кожній точці, називаються просторами з першою аксіомою зліченності.
  • Нехай \mathfrak{m},\mathfrak{n} — деякі кардинальні числа. База \mathfrak{B} простору X називається \mathfrak{m}-точковою, якщо кожна точка x \in X належить не більше ніж \mathfrak{m} елементам сімейства \mathfrak{B}. Зокрема, при \mathfrak{m}=1 база називається диз'юнктивною, при скінченному \mathfrak{m} — точково скінченною, при \mathfrak{m}=\mathcal{X}_0 — точково зліченною.

Властивості[ред.ред. код]

  • Множина \mathfrak{B} відкритих в X множин є базою тоді і тільки тоді, коли вона є локальною базою кожної точки простору X x \in X.

Варіації і узагальнення[ред.ред. код]

  • Існує також двоїсте поняття замкнутої бази. Множина F підмножин топологічного простору називається замкнутою базою, якщо кожна відкрита підмножина може бути подана як перетин деяких елементів F.
  • Передбаза — множина Y відкритих підмножин топологічного простору X така, що сукупність всіх множин, що є перетином скінченного числа елементів Y, утворює базу простору X.

Література[ред.ред. код]

  • Александров П.С. (1977). Введение в теорию множеств и общую топологию. Москва: Наука. с. 368. ISBN 5354008220. 
  • Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974
  • Бурбаки Н., Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., М., 1968
  • Willard, Stephen (1970) General Topology. Addison-Wesley. Reprinted 2004, Dover Publications.