База топології

База топології — множина $\mathfrak{B}$ відкритих підмножин X така, що кожна відкрита множина $G\subset X$ є об'єднанням деяких елементів $U\subset \mathfrak{B}$. Поняття бази — одне з основних в топології. У багатьох питаннях, що стосуються відкритих множин деякого простору, досить обмежитися розглядом елементів його бази. Простір може мати багато баз, найбільшу з яких утворює множина всіх відкритих множин.

База топології однозначно визначає топологію. Тому для визначення деякої топології на просторі Х достатньо визначити деяку базу, а за відкриті множини взяти всі можливі об'єднання елементів бази. Щоб система множин $\mathfrak{B}$, була базою якоїсь топології простору Х, необхідно і достатньо, щоб вона задовольняла дві умови:

1. Система є покриттям простору X.
   
2. Для будь-яких двох елементів B1, B2 системи $\mathfrak{B}$ і будь-якої точки x з їхнього перетину знайдеться деякий елемент B3 системи $\mathfrak{B}$ який містить точку х і є підмножиною перетину B1, B2.

Приклади

• Якщо X і Y — топологічні простори з базами топологій $\mathfrak{B}_X$ і $\mathfrak{B}_Y$, тоді топологія на декартовому добутку X×Y задається за допомогою бази

$\mathfrak{B}_{X\times Y} = \{U\times V\,: U\in\mathfrak{B}_X,\,V\in\mathfrak{B}_Y\}$

При цьому топологія на X × Y не залежатиме від того, які бази просторів X і Y використовуються для її завдання. Така топологія називається (стандартною) топологією декартового добутку топологічних просторів.

• Топологія простору дійсних чисел $\R$ задається системою всіх інтервалів (а,b), яка складає базу цієї топології. Аналогічно топологія простору $\R^n$ задається базою відкритих елементів $(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times\dots\times(a_n,b_n),$ і ця топологія, очевидно, збігається із стандартною топологією прямого добутку просторів.

• Прикладом множини відкритих множин, що не є базою може бути наприклад множина інтервалів виду (−∞, a) і (a, ∞) де a — деяке дійсне число.

Пов'язані означення

• Мінімум серед потужностей усіх баз називається вагою топологічного простору X.

• В просторі ваги $\tau$ існує усюди щільна множина потужності $\leqslant \tau$.
• Простори із зліченною базою називаються також просторами з другою аксіомою зліченності.

• Локальною базою простору X в точці $x \in X$ (базою точки x) називається множина $\mathfrak{B}(x)$ його відкритих множин, що задовольняє властивість: для будь-якого околу O_x точки x знайдеться елемент $V \in \mathfrak{B}(x)$ такий, що $x \in V \subset O_x$.

• Простори, що мають зліченну локальну базу в кожній точці, називаються просторами з першою аксіомою зліченності.

• Нехай $\mathfrak{m},\mathfrak{n}$ — деякі кардинальні числа. База $\mathfrak{B}$ простору X називається $\mathfrak{m}$-точковою, якщо кожна точка $x \in X$ належить не більше ніж $\mathfrak{m}$ елементам сімейства $\mathfrak{B}$. Зокрема, при $\mathfrak{m}=1$ база називається диз'юнктивною, при скінченному $\mathfrak{m}$ — точково скінченною, при $\mathfrak{m}=\mathcal{X}_0$ — точково зліченною.

Властивості

• Множина $\mathfrak{B}$ відкритих в X множин є базою тоді і тільки тоді, коли вона є локальною базою кожної точки простору X $x \in X$.

Варіації і узагальнення

• Існує також двоїсте поняття замкнутої бази. Множина F підмножин топологічного простору називається замкнутою базою, якщо кожна відкрита підмножина може бути подана як перетин деяких елементів F.
• Передбаза — множина Y відкритих підмножин топологічного простору X така, що сукупність всіх множин, що є перетином скінченного числа елементів Y, утворює базу простору X.

Література

• Александров П.С. (1977). Введение в теорию множеств и общую топологию. Москва: Наука. с. 368. ISBN 5354008220. 
• Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974
• Бурбаки Н., Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., М., 1968
• Willard, Stephen (1970) General Topology. Addison-Wesley. Reprinted 2004, Dover Publications.