Базис (математика)

Ілюстрація стандартного базису в R². Блакитний і помаранчевий вектори є елементами базису; зелений вектор може бути представлений через базисні вектори, він лінійно залежить від них.

Базисом (дав.-гр. βασις, основа) векторного простору L називається впорядкований набір векторів {e₁, …, e_n} , якщо кожний вектор із L можна однозначно представити у вигляді лінійної комбінації:

$l = \sum_{i=1}^n a_i e_i, \quad a_i \in \mathbb{K}.$

Або, просто кажучи,базис - це одиничні вектори, відкладені на системі координат (як показано на малюнку).

Коефіцієнти $\ a_i$ називаються координатами вектора $\ l$ відносно базису ${\ e_i}$.

Представлення вектора у вигляді лінійної комбінації базисних векторів називається розкладанням вектора по даному базису.

Кількість векторів базису не залежить від вибору базисних векторів і дорівнює розмірності простору і позначається $\ \dim L.$

Вектори базису є лінійно незалежними.

Приклад

Вектори e_i = (0, …, 1, …, 0), 1 ≤ i ≤ n утворюють базис в $\mathbb{K}^n$.

Нескінченовимірні простори

…

Див. також

• Ортонормований базис

Джерела

• Гельфанд И.М. (1971). Лекции по линейной алгебре (вид. четверте). Москва: Наука. с. 271. ISBN 5791300158. 
• Мальцев А. И. (1970). Основы линейной алгебры (вид. третє). Новосибірськ: Наука. с. 400.