Банахова алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Банахова алгебра — це топологічна алгебра A над полем комплексних чисел, топологія якої визначається нормою, що перетворює A в банахів простір. При цьому, за означенням топологічної алгебри, функція добутку елементів неперервна по кожному із множників.

Найважливіший і найкраще вивчений клас утворюють комутативні банахові алгебри, в яких за визначенням  xy=yx \quad \forall x,y \in A.

За принципом рівномірної неперервності, у будь-якій банаховій алгебрі маємо  \|xy\|\leq C\|x\|\cdot \|y\|\quad\forall x,y\in A, тому норму в A можна замінити на еквівалентну, що задовольняє

 \|xy\|\leq \|x\|\cdot \|y\| \quad \forall x,y\in A\qquad (*).

Банахова алгебра  A називається алгеброю з одиницею, якщо вона містить елемент 1 такий, що  1\cdot x=x\cdot 1=x\quad \forall x\in A. Якщо A не має одиниці, то її можна приєднати, створивши банахову алгебру A\oplus\mathbb{C} з одиницею і нормою ||x+r\cdot 1||=||x||+|r|, що містить алгебру A в якості замкнутої підалгебри. Тому звичайно вважають, що банахова алгебра задовольняє (*) і має одиницю.

Приклади[ред.ред. код]

1) Нехай Xкомпактний топологічний простір, C(X) — сукупність усіх неперервних комплексних функцій, визначених на X. Це — комутативна банахова алгебра відносно поточкових операцій додавання та множення, з нормою

\|f\|=\operatorname{max}\{|f(x)|:{x\in X}\}.

2) Простір l^1 послідовностей  x=(x_0,x_1,\ldots), для яких  ||x||=\sum_{n=0}^{\infty}|x_n|< \infty, з нормою  ||x||, звичайним додаванням і добутком за формулою

 (xy)_n=\sum_{k=0}^n x_k y_{n-k}.

3) Множина B(L) всіх обмежених лінійних операторів на банаховому просторі L утворює банахову алгебру відносно звичайних операцій додавання і множення лінійних операторів і норми оператора. Зокрема, банахову алгебру утворюють всі обмежені лінійні оператори на гільбертовому просторі  H .

4) Групова алгебра L^1(G) локально компактної топологічної групи G, де добуток — це згортка функцій на G.


Спектри[ред.ред. код]

  • Спектр елемента унітальної комплексної банахової алгебри - непорожній компакт. Для будь-якого компакта K спектр w(z)=z на C(K) збігається з K, тобто інших обмежень немає.
  • Спектральним радіусом R елемента x називається \sup \{ |\lambda| : \lambda \in \sigma(x) \}. Для нього існує формула спектрального радіуса  R = \lim_{n \to \infty} \|x^n\|^{1/n}.
  • Якщо \varphi: A \to B -унітальний (переводящий единицу A в одиницю B) гомоморфізм, то для будь-якого a \in A виконане \sigma_{B}(\varphi(a)) \subseteq \sigma_A(a). Тобто при гомоморфізмі спектр або зберігається, або зменшується.
  • Якщо p\in\mathbb{C}[t] — многочлен з комплексними коефіцієнтами, тоді p(\sigma (a))=\sigma (p(a)) . Це твердження також вірно для будь-якої голоморфної функції, зокрема синуса, логарифма та експоненти.

Алгебри з інволюцією та C^*-алгебри[ред.ред. код]

Докладніше: *-алгебра

У більшості природно виникаючих банахових алгебр є операція спряження, тобто деяке неперервне відображення A до себе, x\mapsto x^*.

Елемент  x\in A називається:

  • нормальним, якщо  x^*x=xx^*;
  • ермітовим, якщо  x=x^*;
  • унітарним, якщо  x^*x=xx^*=1.

Це узагальнює відповідні ознаки лінійних операторів.

Алгебра  B(H) обмежених операторів на гільбертовому просторі H уявляє собою банахову алгебру з інволюцією, де  T^* — це спряжений до оператора T. Виникає природне питання, чи можна реалізовати будь-яку банахову алгебру з інволюцією як підалгебру  B(H). Це питання було повністю розв'язано І.М.Гельфандом і М.А.Наймарком.

Банахова алгебра з інволюцією A називається C^*-алгеброю, якщо виконується тотожність

 \|x^*x\|=\|x\|^2 для всіх x\in A.

Неважко побачити, що в алгебрі  B(H) це так. Гельфанд і Наймарк довели, що і навпаки, будь-яка C^*-алгебра A допускає точне *-зображення у  B(H). Так звана ГНС конструкція (на честь Гельфанда, Наймарка і Сегала), що надає канонічне таке зображення, відіграє найважливішу роль в алгебраїчній квантовій теорії поля.

І.М.Гельфанд також довів, що будь-яка комутативна C^*-алгебра з одиницею має вигляд C(X) (див. Приклад 1). Компактний топологічний простір X можна знайти розглядаючи ненульові характери алгебри A, або її максимальні ідеали,  X=\operatorname{Specm A}. Некомутативна геометрія А.Конна розглядає довільну (некомутативну) C^*-алгебру A як алгебру функцій на (неіснуючому) некомутативному просторі ''\operatorname{Spec}A''.

Теорія C^*-алгебр використовується в теорії зображеннь і сучасний топології, зокрема K-теорії і теорії шаруваннь.