Банахова алгебра

Банахова алгебра — це топологічна алгебра $A$ над полем комплексних чисел, топологія якої визначається нормою, що перетворює $A$ в банахів простір. При цьому, за означенням топологічної алгебри, функція добутку елементів неперервна по кожному із множників.

Найважливіший і найкраще вивчений клас утворюють комутативні банахові алгебри, в яких за визначенням $xy=yx \quad \forall x,y \in A.$

За принципом рівномірної неперервності, у будь-якій банаховій алгебрі маємо $\|xy\|\leq C\|x\|\cdot \|y\|\quad\forall x,y\in A,$ тому норму в $A$ можна замінити на еквівалентну, що задовольняє

$\|xy\|\leq \|x\|\cdot \|y\| \quad \forall x,y\in A\qquad (*).$

Банахова алгебра $A$ називається алгеброю з одиницею, якщо вона містить елемент $1$ такий, що $1\cdot x=x\cdot 1=x\quad \forall x\in A.$ Якщо $A$ не має одиниці, то її можна приєднати, створивши банахову алгебру $A\oplus\mathbb{C}$ з одиницею і нормою $||x+r\cdot 1||=||x||+|r|,$ що містить алгебру $A$ в якості замкнутої підалгебри. Тому звичайно вважають, що банахова алгебра задовольняє (*) і має одиницю.

Приклади

1) Нехай $X$ — компактний топологічний простір, $C(X)$ — сукупність усіх неперервних комплексних функцій, визначених на $X$. Це — комутативна банахова алгебра відносно поточкових операцій додавання та множення, з нормою

$\|f\|=\operatorname{max}\{|f(x)|:{x\in X}\}.$

2) Простір $l^1$ послідовностей $x=(x_0,x_1,\ldots),$ для яких $||x||=\sum_{n=0}^{\infty}|x_n|< \infty,$ з нормою $||x||,$ звичайним додаванням і добутком за формулою

$(xy)_n=\sum_{k=0}^n x_k y_{n-k}.$

3) Множина $B(L)$ всіх обмежених лінійних операторів на банаховому просторі $L$ утворює банахову алгебру відносно звичайних операцій додавання і множення лінійних операторів і норми оператора. Зокрема, банахову алгебру утворюють всі обмежені лінійні оператори на гільбертовому просторі $H$.

4) Групова алгебра $L^1(G)$ локально компактної топологічної групи $G,$ де добуток — це згортка функцій на $G.$

Спектри

• Спектр елемента унітальної комплексної банахової алгебри - непорожній компакт. Для будь-якого компакта $K$ спектр $w(z)=z$ на $C(K)$ збігається з $K$, тобто інших обмежень немає.
• Спектральним радіусом $R$ елемента $x$ називається $\sup \{ |\lambda| : \lambda \in \sigma(x) \}.$ Для нього існує формула спектрального радіуса $R = \lim_{n \to \infty} \|x^n\|^{1/n}.$
• Якщо $\varphi: A \to B$ -унітальний (переводящий единицу $A$ в одиницю $B$) гомоморфізм, то для будь-якого $a \in A$ виконане $\sigma_{B}(\varphi(a)) \subseteq \sigma_A(a)$. Тобто при гомоморфізмі спектр або зберігається, або зменшується.
• Якщо $p\in\mathbb{C}[t]$ — многочлен з комплексними коефіцієнтами, тоді $p(\sigma (a))=\sigma (p(a))$. Це твердження також вірно для будь-якої голоморфної функції, зокрема синуса, логарифма та експоненти.

Алгебри з інволюцією та $C^*-$алгебри

У більшості природно виникаючих банахових алгебр є операція спряження, тобто деяке неперервне відображення $A$ до себе, $x\mapsto x^*.$

Елемент $x\in A$ називається:

• нормальним, якщо $x^*x=xx^*;$
• ермітовим, якщо $x=x^*;$
• унітарним, якщо $x^*x=xx^*=1.$

Це узагальнює відповідні ознаки лінійних операторів.

Алгебра $B(H)$ обмежених операторів на гільбертовому просторі $H$ уявляє собою банахову алгебру з інволюцією, де $T^*$ — це спряжений до оператора $T$. Виникає природне питання, чи можна реалізовати будь-яку банахову алгебру з інволюцією як підалгебру $B(H).$ Це питання було повністю розв'язано І.М.Гельфандом і М.А.Наймарком.

Банахова алгебра з інволюцією $A$ називається $C^*-$алгеброю, якщо виконується тотожність

$\|x^*x\|=\|x\|^2$ для всіх $x\in A.$

Неважко побачити, що в алгебрі $B(H)$ це так. Гельфанд і Наймарк довели, що і навпаки, будь-яка $C^*-$алгебра $A$ допускає точне *-зображення у $B(H).$ Так звана ГНС конструкція (на честь Гельфанда, Наймарка і Сегала), що надає канонічне таке зображення, відіграє найважливішу роль в алгебраїчній квантовій теорії поля.

І.М.Гельфанд також довів, що будь-яка комутативна $C^*-$алгебра з одиницею має вигляд $C(X)$ (див. Приклад 1). Компактний топологічний простір $X$ можна знайти розглядаючи ненульові характери алгебри $A$, або її максимальні ідеали, $X=\operatorname{Specm A}.$ Некомутативна геометрія А.Конна розглядає довільну (некомутативну) $C^*-$алгебру $A$ як алгебру функцій на (неіснуючому) некомутативному просторі $''\operatorname{Spec}A''$.

Теорія $C^*-$алгебр використовується в теорії зображеннь і сучасний топології, зокрема K-теорії і теорії шаруваннь.