Банахів простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Банахів простір — повний нормований векторний простір. Тобто, векторний простір \ V над полем дійсних або комплексних чисел з нормою ||\cdot|| такою, що кожна фундаментальна послідовність є збіжною до елементу з \ V за метрикою d(x,\ y)=\|x-y\|. Названий на честь Стефана Банаха, центральний об'єкт в функціональному аналізі.

Приклади[ред.ред. код]

Позначимо через \ K одне з полів — \R або \C.

Відомі Евклідові простори \ K^n, де Евклідова норма вектора x=(x_1,\ldots,x_n) визначається формулою

\|x\|=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}|x_i|^2}.

Простір усіх неперервних функцій \ f:[a, b] \to K , визначених на закритому інтервалі [a,\,b], є Банаховим простором, якщо ми визначимо норму як

||f|| = \sup \{ |f(x)| : x\in [a,\, b] \}.

Це — норма, оскільки неперервні функції, визначені на закритому інтервалі, є обмеженими. Простір є повним за цією нормою. Одержаний Банахів простір позначається \ C[a, b]. Цей приклад можна узагальнити до простору C(X) усіх неперервних функцій X\to K, де X  — компактний простір, або простору всіх обмежених неперервних функцій X\to K, де X — будь-який топологічний простір, або до простору B(X) всіх обмежених функцій X\to K, де X — будь-яка множина.

В усіх наведених прикладах Банахові простори є замкненими відносно множення функції тому вони є унітарними Банаховими алгебрами.

Якщо p \ge 1 — дійсне число, ми можемо розглядати простір усіх нескінчених послідовностей \ (x_1, x_2, x_3, \ldots) елементів K таких, що нескінчені ряди \sum |x_i|^p є збіжними. Корінь p-го степеня зі значення цього ряду за означенням є p-нормою послідовності. Цей простір разом із означеною нормою є Банаховим простором і позначається \ l^p.

Банахів простір \ l^\infty складається з усіх обмежених послідовностей елементів з K. За норму такої послідовності можна взяти верхню межу абсолютних значень членів послідовності.

Також, якщо p ≥ 1 — дійсне, можемо розглядати всі функції f : [a, b] → K такі, що |f|p є інтегровною за Лебеґом. За норму f беруть корінь p-го степеня з цього інтеграла. Сам по собі цей простір не є Банаховим простором, оскільки є ненульові функції, норма яких дорівнює нулеві. Ми визначаємо співвідношення еквівалентності таким чином: f і g є еквівалентними тоді й тільки тоді, коли норма різниці f — g дорівнює нулеві. Тоді множина класів еквівалентності утворює Банахів простір, який позначають L p[a, b]. Тут суттєво застосовувати інтеграл Лебеґа, а не Рімана, оскільки Риманів інтеграл не дає повного простору. Ці приклади можна узагальнити — див. Простір L p

Якщо X і Y — два Банахові простори, тоді можна утворити їх пряму суму X \oplus Y, що також є Банаховим простором. Цю конструкцію можна узагальнити до прямої суми довільного числа Банахових просторів.

Якщо M є закритим лінійним підпростором Банахового простору X, тоді частка Банахова простору і цього підпростору X/M також є Банаховим простором.

Лінійні оператори[ред.ред. код]

Якщо V та W — Банахові простори над одним і тим самим полем K, сукупність усіх неперервних K-лінійних відображень або лінійних операторів A : VW позначається L(V, W). Зверніть увагу на те, що в нескінченновимірних просторах не всі лінійні відображення автоматично є лінійними. L(V, W) є векторним простором. Якщо взяти за норму ||A|| = sup { ||Ax|| : xV, ||x|| ≤ 1 }, його можна розглядати як Банахів простір.

Простір L(V) = L(V, V) парних форм унітарної Банахової алгебри. Операція множення — композиція лінійних відображень.

Дуальний простір[ред.ред. код]

Якщо V є Банаховим простором, і K — є полем (дійсним чи комплексним), тоді саме K є Банаховим простором (якщо брати абсолютну величину за норму), і ми можемо ввести дуальний простір до V як V' = L(V, K). Це також — Банахів простір. Він може застосовуватися для визначення нової топології на V — слабкої топології.

Існує природне відображення F з V в V'

 F(x)(f) = f(x)

для всіх x в V та f в V'. Згідно з теоремою Гана-Банаха це відображення є ін'єкцією (відображенням «в»). Якщо воно також є сюр'єкцією (відображенням «на»), тоді Банахів простір V називають рефлексивним простором. Рефлексивні простори мають багато важливих геометричних властивостей. Простір є рефлексивним тоді й лише тоді, коли дуальний їх дуальні простори є рефлексивними, а це буває тоді й лише тоді, коли їх одинична куля є ком пактом у слабкій топології.

Наприклад, l^p є рефлексивним для 1 < p < \infty , але l^1 і l^{\infty} не є рефлексивними. Дуальний простір до l^p є l^q, де p та q зв'язані формулою (1/p) + (1/q) = 1. Дивіться Простір L p.

Зв'язок із Гільбертовим простором[ред.ред. код]

\|u+v\|^2 + \|u-v\|^2 = 2(\|u\|^2 + \|v\|^2).

Якщо норма Банахового простору задовольняє цю тотожність, цей простір також є Гільбертовим із скалярним добутком, заданим поляризаційною тотожністю. Якщо V є дійсним Банаховим простором, поляризаційна тотожність така:

(u,v) = \frac{1}{4} (\|u+v\|^2 - \|u-v\|^2)

тоді як для комплексного Банахового простору V поляризаційна тотожність -

(u,v) = \frac{1}{4} (\|u+v\|^2 - \|u-v\|^2 - i(\|u+iv\|^2 - \|u-iv\|^2))

для того, щоб побачити, чому паралелограм передбачає, що форма, визначена поляризаційною тотожністю, насправді є повним внутрішнім добутком, алгебраїчно перевіряють, чи є ця форма адитивною, звідки за математичною індукцією випливає, що форма є лінійною над цілими та раціональними числами. Далі, оскільки кожне дійсне число є границею деякої послідовності Коши раціональних чисел, повнота норми поширює лінійність на всю дійсну пряму.

У випадку комплексних чисел можна також перевірити, що білінійна форма є лінійною за i в одному з аргументів, та спряжено-лінійною в іншому.

Похідні[ред.ред. код]

Можна визначити похідну функції f : VW, що відображає один Банахів простір в інший. Інтуїтивно, якщо x є елементом V, похідна від f в точці x є неперервним лінійним відображенням, що є наближенням f в околі точки x

Формально f зветься диференційовною в x, якщо існує неперервне лінійне відображення A : VW таке, що

\lim_{h \to 0} \frac{ \| f(x + h) - f(x) - A(h) \| }{ \|h\| } = 0

Границя тут береться по всіх послідовностях ненульових елементів в V, що збігаються до 0.
Якщо границя існує, пишемо {\rm D} f(x)=A та називаємо це похідною f в точці x.

Поняття похідної є фактично узагальненням звичайної похідної від функцій RR, адже лінійні відображення з R в R є просто множенням на дійсні числа.

Якщо f є диференційовною в кожній точці x простору V, тоді Df : V → L(V, W) є іншим відображенням одного Банахового простору в інший (взагалі-то не лінійним відображенням!) і, можливо, також є диференційовним, таким чином визначаючи похідні вищих порядків від f. n-ту похідну в точці x можна розглядати як полілінійне відображення VnW.

Диференціювання є лінійною операцією в такому сенсі: якщо f та g — два відображення VW, що є диференційовними в точці x, і r та s є скалярами з K, тоді rf + sg є диференційовним в x, і {\rm D}(rf + sg)(x) = r{\rm D}(f)(x) + s{\rm D}(g)(x).

В цьому контексті також справджується правило ланцюга: якщо f : VW диференційоване в точці x в V, і g : WX є диференційовним в f(x), композиція g o f є диференційовною в x, і похідна є композицією похідних:

D(g \circ f)(x) = D(g)(f(x)) \circ D(f)(x)

Узагальнення[ред.ред. код]

Декілька важливих у функціональному аналізі просторів, наприклад, простір усіх нескінчених багатократно диференційовних функцій RR або простір всіх розподілів на R є повними, але не нормованими векторними просторами, що відтак не є Банаховими просторами. У просторі Фреше існує повна метрика, тоді як простори LF є повними рівномірними векторними просторами, що виникають як границі просторів Фреше.

Посилання[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]