Барицентричні координати

Барицентричні координати — координати точки $n$-вимірного афінного простору $A^n$, віднесені до деякої фіксованої системи з $(n+1)$-ої точки $p_0,\;p_1,\;\ldots,\;p_n$, що не лежить $(n-1)$-вимірному підпросторі. Барицентричні координати введені Мебіусом 1827 році.

Нехай $z$ є довільна точка в $A^n$. Кожна точка $x\in A^n$ може бути єдиним чином визначена у вигляді суми

$x=z+\alpha_1\cdot\vec{zp}_1+\alpha_2\cdot\vec{zp}_2+\ldots+\alpha_n\cdot\vec{zp}_n,$

де $\alpha_1,\;\alpha_2,\;\ldots,\;\alpha_n$ — дійсні числа, що задовольняють умові

$\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_n=1.$

Числа $\alpha_1,\;\alpha_2,\;\ldots,\;\alpha_n$ називаються барицентричними координатами точки $x$. Легко бачити, що барицентричні координати не залежать від вибору $z$.

Точка $x$, є центром тяжіння мас $\alpha_1,\;\alpha_2,\;\ldots,\;\alpha_n$, розташованих в точках $p_1,\;p_2,\;\ldots,\;p_n$.

Властивості

• Барицентричні координати афінними інваріантами тобто не змінюються при афінних перетвореннях.
• Барицентричні координати точок симплекса з вершинами в $p_1,\;p_2,\;\ldots,\;p_n$ невід'ємні і їх сума рівна одиниці.
• Перетворення на нуль барицентричної координати $\alpha_i$ рівносильно тому, що точка лежить на гіперплощині, що містить грань симплексу, протилежну вершині $p_i$.

Джерела

• Александров П. С., Комбинаторная топология, М. — Л., 1947
• Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1947,
• Bradley, Christopher J. (2007). The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-ordinates. Bath: Highperception. ISBN 978-1-906338-00-8. 
• Weisstein, Eric W. Areal Coordinates(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Barycentric Coordinates(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.