Барицентричні координати

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Барицентричні координати — координати точки n-вимірного афінного простору A^n, віднесені до деякої фіксованої системи з (n+1)-ої точки p_0,\;p_1,\;\ldots,\;p_n, що не лежить (n-1)-вимірному підпросторі. Барицентричні координати введені Мебіусом 1827 році.

Нехай z є довільна точка в A^n. Кожна точка x\in A^n може бути єдиним чином визначена у вигляді суми

x=z+\alpha_1\cdot\vec{zp}_1+\alpha_2\cdot\vec{zp}_2+\ldots+\alpha_n\cdot\vec{zp}_n,

де \alpha_1,\;\alpha_2,\;\ldots,\;\alpha_n — дійсні числа, що задовольняють умові

\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_n=1.

Числа \alpha_1,\;\alpha_2,\;\ldots,\;\alpha_n називаються барицентричними координатами точки x. Легко бачити, що барицентричні координати не залежать від вибору z.

Точка x, є центром тяжіння мас \alpha_1,\;\alpha_2,\;\ldots,\;\alpha_n, розташованих в точках p_1,\;p_2,\;\ldots,\;p_n.

Властивості[ред.ред. код]

  • Барицентричні координати афінними інваріантами тобто не змінюються при афінних перетвореннях.
  • Барицентричні координати точок симплекса з вершинами в p_1,\;p_2,\;\ldots,\;p_n невід'ємні і їх сума рівна одиниці.
  • Перетворення на нуль барицентричної координати \alpha_i рівносильно тому, що точка лежить на гіперплощині, що містить грань симплексу, протилежну вершині p_i.

Джерела[ред.ред. код]

  • Александров П. С., Комбинаторная топология, М. — Л., 1947
  • Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1947,
  • Bradley, Christopher J. (2007). The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-ordinates. Bath: Highperception. ISBN 978-1-906338-00-8. 
  • Weisstein, Eric W. Areal Coordinates(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. Barycentric Coordinates(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.