Безмежно подільний розподіл

Безмежно подільний розподіл у теорії імовірностей це розподіл випадкової величини, такої, що вона може бути представлена у виді довільної скінченої кількості незалежних однаково розподілених доданків.

Означення

Випадкова величина $Y$ називається безмежно подільною, якщо для будь-якого $n \in \mathbb{N}$ вона може бути представлена у виді

$Y = \sum\limits_{i=1}^n X^{(n)}_i$,

де $\left\{X_i^{(n)}\right\}_{i=1}^n$ - незалежні, однаково розподілені випадкові величини.

Властивості безмежно подільних розподілів

• Характеристична функція $\phi_Y(t)$ безмежно подільної випадкової величини $Y$ має вид:

$\phi_Y(t) = \phi^n_{X^{(n)}_1}(t)$.

Канонічні представлення безмежно подільних розподілів

Формула Колмогорова

Нехай $\phi(t)$ - характеристична функція безмежно подільного розподілу на $\mathbb{R}$, який має скінченну дисперсію. Тоді існує неспадна функція $K:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, така що $\lim\limits_{u \to -\infty} K(u) = 0$, і

$\ln \phi(t) = i\delta t + \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{it u} - 1 - i u t}{u^2} \, dK(u)$,

де інтеграл розуміється в смислі Лебега - Стилтьеса.

Формула Леви - Хинчина

Нехай $\phi(t)$ - характеристична функція безмежно подільного розподілу на $\mathbb{R}$. Тоді існує неспадна функція обмеженої варіації $G:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, така що

$\ln \phi(t) = i \delta t + \int\limits_{-\infty}^{\infty}\left(e^{itu} - 1 - \frac{itu}{1+u^2}\right)\left(\frac{1+u^2}{u^2}\right)dG(u)$

Приклади

• Такі розподіли безмежно подільні: розподіл Коші, розподіл Пуассона, нормальний розподіл, гама розподіл.

• Нехай задано ймовірнісний простір $(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},m)$, де

$m(n) = \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda}$

для деякого $\lambda > 0$. Тоді випадкова величина $X:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$, що має вид

$X(n) = n,\quad n \in \mathbb{N}$

не є безмежно подільною.