Безмежно подільний розподіл

Безмежно подільний розподіл у теорії імовірностей це розподіл випадкової величини, такої, що вона може бути представлена у виді довільної скінченої кількості незалежних однаково розподілених доданків.

Означення

Випадкова величина $Y$ називається безмежно подільною, якщо для будь-якого $n\in \mathbb {N}$ вона може бути представлена у виді

$Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{(n)}$,

де $\left\{X_{i}^{(n)}\right\}_{i=1}^{n}$ - незалежні, однаково розподілені випадкові величини.

Властивості безмежно подільних розподілів

• Характеристична функція $\phi _{Y}(t)$ безмежно подільної випадкової величини $Y$ має вид:

$\phi _{Y}(t)=\phi _{X_{1}^{(n)}}^{n}(t)$.

Канонічні представлення безмежно подільних розподілів

Формула Колмогорова

Нехай $\phi (t)$ - характеристична функція безмежно подільного розподілу на $\mathbb {R}$, який має скінченну дисперсію. Тоді існує неспадна функція $K:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, така що $\lim \limits _{u\to -\infty }K(u)=0$, і

$\ln \phi (t)=i\delta t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itu}-1-iut}{u^{2}}}\,dK(u)$,

де інтеграл розуміється в смислі Лебега - Стилтьеса.

Формула Леві - Хінчина

Нехай $\phi (t)$ - характеристична функція безмежно подільного розподілу на $\mathbb {R}$. Тоді існує неспадна функція обмеженої варіації $G:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, така що

$\ln \phi (t)=i\delta t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(e^{itu}-1-{\frac {itu}{1+u^{2}}}\right)\left({\frac {1+u^{2}}{u^{2}}}\right)dG(u)$

Приклади

• Такі розподіли безмежно подільні: розподіл Коші, розподіл Пуассона, нормальний розподіл, гама розподіл.

• Нехай задано ймовірнісний простір $(\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },m)$, де

$m(n)={\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }$

для деякого $\lambda >0$. Тоді випадкова величина $X:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$, що має вид

$X(n)=n,\quad n\in \mathbb {N}$

не є безмежно подільною.

Безмежно подільний розподіл на локально компактних абелевих групах

Розподіл $\mu$ на локально компактній абелевій групі $X$ називається безмежно подільним, якщо для кожного натурального $n$ існує елемент $x_{n}\in X$ і розподіл $\mu _{n}$ на $X$ такий, що $\mu =\mu _{n}^{*n}*E_{x_{n}}$, де $E_{x_{n}}$ --- вироджений розподіл, зосереджений в $x_{n}$ (див. , ).

Прикладами безмежно подільних розподілів на локально компактних абелевих групах є вироджені розподіли, зсуви розподілів Хаара компактних підгруп, узагальнені розподіли Пуассона.