Безмежно подільний розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Безмежно подільний розподіл у теорії імовірностей це розподіл випадкової величини, такої, що вона може бути представлена у виді довільної скінченої кількості незалежних однаково розподілених доданків.

Означення[ред.ред. код]

Випадкова величина Y називається безмежно подільною, якщо для будь-якого n \in \mathbb{N} вона може бути представлена у виді

Y = \sum\limits_{i=1}^n X^{(n)}_i,

де \left\{X_i^{(n)}\right\}_{i=1}^n - незалежні, однаково розподілені випадкові величини.

Властивості безмежно подільних розподілів[ред.ред. код]

\phi_Y(t) = \phi^n_{X^{(n)}_1}(t).

Канонічні представлення безмежно подільних розподілів[ред.ред. код]

Формула Колмогорова[ред.ред. код]

Нехай \phi(t) - характеристична функція безмежно подільного розподілу на \mathbb{R}, який має скінченну дисперсію. Тоді існує неспадна функція K:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, така що \lim\limits_{u \to -\infty} K(u) = 0, і

\ln \phi(t) = i\delta t + \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{it u} - 1 - i u t}{u^2} \, dK(u) ,

де інтеграл розуміється в смислі Лебега - Стилтьеса.

Формула Леви - Хинчина[ред.ред. код]

Нехай \phi(t) - характеристична функція безмежно подільного розподілу на \mathbb{R}. Тоді існує неспадна функція обмеженої варіації G:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, така що

\ln \phi(t) = i \delta t + \int\limits_{-\infty}^{\infty}\left(e^{itu} - 1 - \frac{itu}{1+u^2}\right)\left(\frac{1+u^2}{u^2}\right)dG(u)

Приклади[ред.ред. код]

  • Такі розподіли безмежно подільні: розподіл Коші, розподіл Пуассона, нормальний розподіл, гама розподіл.
  • Нехай задано ймовірнісний простір (\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},m), де
m(n) = \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda}

для деякого \lambda > 0. Тоді випадкова величина X:\mathbb{N} \to \mathbb{R}, що має вид

X(n) = n,\quad n \in \mathbb{N}

не є безмежно подільною.