Безумовна збіжність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математичному аналізі, ряд \sum_{n=1}^\infty x_n в банаховому просторі X називається безумовно збіжним, якщо для довільної перестановки \sigma: \N \to \N ряд \sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)} є збіжним.

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо ряд \sum_{n=1}^\infty x_n є безумовно збіжним, то існує єдиний елемент x \in X, такий що \sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)} = x, для довільної перестановки \sigma: \N \to \N.
  • Довільний абсолютно збіжний ряд є безумовно збіжним, але обернене твердження є невірним. Проте, коли X = Rn, тоді внаслідок теореми Рімана , ряд \sum x_n є безумовно збіжним тоді і тільки тоді, коли він є абсолютно збіжним.
  • Якщо \{x_n\}\, послідовність елементів гільбертового простору H, то з безумовної збіжності ряду \sum_{n=1}^\infty x_n випливає \sum_{n=1}^\infty \lVert x_n \rVert^2 < \infty.

Еквівалентні визначення[ред.ред. код]

Можна дати кілька еквівалентних визначень безумовної збіжності: ряд є безумовно збіжним тоді і тільки тоді коли:

  • для довільної послідовності (\varepsilon_n)_{n=1}^\infty, де \varepsilon_n\in\{-1, +1\}, ряд \sum_{n=1}^\infty \varepsilon_n x_n є збіжним.
  • для довільної послідовності (\alpha_n)_{n=1}^\infty, такої що \sup_n  |\alpha_n| < \infty, ряд \sum_{n=1}^\infty \alpha_n x_n є збіжним.
  • для довільної послідовності 1 \leq k_1 < k_2 < \ldots , ряд \sum_{n=1}^\infty x_{k_n} є збіжним.
  • для довільного \epsilon > 0 існує скінченна підмножина I \subset \N, така що \lVert \sum_{i \in J} x_i \rVert\, < \epsilon для довільної скінченної підмножини J \subset \N \setminus I

Приклад[ред.ред. код]

Нехай дано простір l^p\,, де 1 \leqslant p < \infty — банаховий простір числових послідовностей з нормою  \|x\|_p = \left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}. Розглянемо в ньому послідовність x_n = (0, \ldots, \frac{1}{n}, 0, \ldots), де ненульове значення стоїть на n-му місці. Тоді ряд \sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)} є безумовно збіжним, але не є абсолютно збіжним.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]