Берівський простір

Берівський простір — вид топологічних просторів названий на честь французького математика Рене-Луї Бера. Нехай $(X,\tau)$ — топологічний простір. Тоді $X$ називається берівським простором якщо перетин зліченної кількості відкритих щільних множин буде щільною підмножиною $X$.

Приклади

• Простір дійсних чисел ${\mathbb R}$ і загалом кожен евклідів простір ${\mathbb R}^n$ є простором Бера.
• Кожен дискретний простір є берівським простором.
• Довільний повний метричний простір і локально компактний гаусдорфів простір є просторами Бера.
• Множина Кантора є берівським простором.

Властивості

Нехай $(X,\tau)$ — топологічний простір. Наступні твердження є рівносильними:

• $X$ є берівським простором,
• жодна відкрита непуста підмножина $X$ не є множиною першої категорії,
• Множина внутрішніх точок зліченної суми замкнутих ніде не щільних множин є пустою,
• для кожних замкнутих множин $F_1,F_2,F_3,\ldots\subseteq X$, якщо ${\rm int}\big(\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\big)\neq\emptyset$, то ${\rm int}(F_i)\neq\emptyset$ для деякого $i$.

Див. також

• Множина першої категорії
• Ніде не щільна множина