Блочна матриця

Блочна матриця — прямокутна матриця, що уявно поділена на одинакові прямокутні частини-блоки, які самі розглядаються як матриці.

Приклад

Матриця $\mathbf{P} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 2\\ 1 & 1 & 2 & 2\\ 3 & 3 & 4 & 4\\ 3 & 3 & 4 & 4\end{bmatrix}$ складається з наступних блоків(матриць):$\mathbf{P}_{11} = \begin{bmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{bmatrix}, \mathbf{P}_{12} = \begin{bmatrix}2 & 2\\2 & 2\end{bmatrix}, \mathbf{P}_{21} = \begin{bmatrix}3 & 3\\3 & 3\end{bmatrix}, \mathbf{P}_{22} = \begin{bmatrix}4 & 4\\4 & 4\end{bmatrix}.$

І може бути записана як блочна матриця

$\mathbf{P}_{\mathrm{partitioned}} = \begin{bmatrix} \mathbf{P}_{11} & \mathbf{P}_{12}\\ \mathbf{P}_{21} & \mathbf{P}_{22}\end{bmatrix}.$

Множення блочних матриць

Множення блочних матриць може бути обчислене тільки за допомогою операцій над блоками. Якщо

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} \mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} & \cdots &\mathbf{A}_{1s}\\ \mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} & \cdots &\mathbf{A}_{2s}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ \mathbf{A}_{q1} & \mathbf{A}_{q2} & \cdots &\mathbf{A}_{qs}\end{bmatrix}$ — матриця розміру m×p, поділена на q×s блоків,

$\mathbf{B} = \begin{bmatrix} \mathbf{B}_{11} & \mathbf{B}_{12} & \cdots &\mathbf{B}_{1r}\\ \mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22} & \cdots &\mathbf{B}_{2r}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ \mathbf{B}_{s1} & \mathbf{B}_{s2} & \cdots &\mathbf{B}_{sr}\end{bmatrix}$ — матриця розміру p×n, поділена на s×r блоків,

тоді добуток

$\mathbf{C=AB}$

буде матрицею розміру m×n, поділеною на q×r блоків. Блоки обчислюватимуться за формулою:

$\mathbf{C}_{\alpha \beta} = \sum^s_{\gamma=1}\mathbf{A}_{\alpha \gamma} \mathbf{B}_{\gamma \beta}.$

Блочні діагональні матриці

Блочна діагональна матриця — блочна матриця що є квадратною матрицею, блоки також є квадратними матрицями і блоки поза основною діагоналлю є нульовими матрицями. Тобто має форму

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} \mathbf{A}_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \mathbf{A}_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \mathbf{A}_{n} \end{bmatrix}$

де A_k — квадратні матриці; іншими словами, пряма сума матриць A₁, …, A_n. Записується A₁ $\oplus$ A₂ $\oplus\,\ldots\,\oplus$ A_n  чи  diag(A₁, A₂,$\ldots$, A_n).

Визначник та слід матриці мають властивості:

$\operatorname{det} \mathbf{A} = \operatorname{det} \mathbf{A}_1 \cdots \operatorname{det} \mathbf{A}_n$,

$\operatorname{trace} \mathbf{A} = \operatorname{trace} \mathbf{A}_1 +\cdots +\operatorname{trace} \mathbf{A}_n$.

Пряма сума

Для довільних матриць A (розміру m×n) та B (розміру p×q), прямою сумою (позначається A $\oplus$ B) буде матриця

$\mathbf{A} \oplus \mathbf{B} = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m 1} & \cdots & a_{mn} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1q} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & b_{p1} & \cdots & b_{pq} \end{bmatrix}.$

Наприклад:

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \oplus \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$

Ця операція узагальнюється на масиви довільної розмірності (потрібно щоб A та B мали одинакову розмірність).

Прямий добуток

Докладніше у статті Добуток Кронекера

Прямий добуток — бінарна операція над матрицями довільного розміру, позначається $\otimes$. Результатом є блочна матриця.

Прямий добуток не слід путати зі звичайним множенням матриць. Операція названа в честь німецького математика Леопольда Кронекера.

Визначення

Якщо A — матриця розміру m×n, B — матриця розміру p×q, тоді добутком Кронекера є блочна матриця розміру mp×nq

$A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix}.$

Білінійність, асоціативність та некомутативність

• Прямий добуток є частковим випадком тензорного добутку, отже він є білінійним та асоціативним:

$A \otimes (B+C) = A \otimes B + A \otimes C,$

$(A+B)\otimes C = A \otimes C + B \otimes C,$

$(kA) \otimes B = A \otimes (kB) = k(A \otimes B),$

$(A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C),$

де A, B та C є матрицями, а k — скаляр.

• Прямий добуток не є комутативним. Хоча, завжди існують такі матриці перестановки P та Q, що

$A \otimes B = P \, (B \otimes A) \, Q.$

Якщо A та B квадратні матриці, тоді A $\otimes$ B та B $\otimes$ A є перестановочно подібними, тобто, P = Q^T.

Транспонування

Операція транспонування є дистрибутивною відносно добутку Кронекера

$(A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T.$

Мішаний добуток

• Якщо A, B, C та D є матрицями такого розміру, що існують добутки AC та BD, тоді

$(A \otimes B)(C \otimes D) = AC \otimes BD.$

• A $\otimes$ B є оборотною тоді і тільки тоді коли A та B є оборотними, і тоді

$(A \otimes B)^{-1} = A^{-1} \otimes B^{-1}.$

Сума та експонента Кронекера

• Якщо A — матриця розміру n×n, B — матриця розміру m×m і $I_k$ — одинична матриця розміру k×k тоді ми можемо визначити суму Кронекера $\oplus$, як

$A \oplus B = A \otimes I_m + I_n \otimes B.$

• Також справедливо

$e^{A \oplus B} = e^A \otimes e^B.$

Спектр, слід та визначник

• Якщо A та B квадратні матриці розміру n та q відповідно. Якщо λ₁, ..., λ_n — власні значення матриці A та μ₁, ..., μ_q власні значення матриці B. Тоді власними значеннями A $\otimes$ B є

$\lambda_i \mu_j, \qquad i=1,\ldots,n ,\, j=1,\ldots,q.$

• Слід та визначник добутку Кронекера рівні

$\operatorname{tr}(A \otimes B) = \operatorname{tr} (A) \, \operatorname{tr} (B),$

$\det(A \otimes B) = (\det A)^q (\det B)^n.$

Сингулярний розклад та ранг

• Якщо матриця A має r_A ненульових сингулярних значень:

$\sigma_{A,i}, \qquad i = 1, \ldots, r_A.$

Ненульові сингулярні значення матриці B:

$\sigma_{B,i}, \qquad i = 1, \ldots, r_B.$

Тоді добуток Кронекера A $\otimes$ B має r_Ar_B ненульових сингулярних значень

$\sigma_{A,i} \sigma_{B,j}, \qquad i=1,\ldots,r_A ,\, j=1,\ldots,r_B.$

• Ранг матриці рівний кількості ненульових сингулярних значень, отже

$\operatorname{rank}(A \otimes B) = \operatorname{rank} (A) \, \operatorname{rank} (B).$

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. (1967). Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576.