Бордизм

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
«Штани» — бордизм між колом і парою кіл

Бордизм, також бордантність — термін топології, що використовується самостійно або ж у складі стандартних словосполучень в кількох споріднених сенсах. Майже у всіх з них замість бордизма раніше вживали термін кобордизм, попередня термінологія також збереглася.

Неорієнтовані бордизми[ред.ред. код]

Неорієнтовані бордизми — найпростіший варіант бордизмів. Два гладких замкнутих n-вимірних многовида M і M' бордантні (обмежують, або внутрішньо гомологічні), якщо існує гладкий компактний (n+1)-вимірний многовид W (що його називають плівкою), край якого складається з двох многовидів M і M', (або точніше многовидів M_0 і M_1 дифеоморфних, відповідно, M і M' через деякі дифеоморфізми g_0\colon M\to M_0 і g_1\colon M'\to M_1). Сукупність многовидів, бордантних один одному, називається класами бордизмів, а трійку (W,\;M_0,\;M_1) називають бордизмом (точніше було би казати про п'ятірку (W,\;M_0,\;M_1,\;g_0,\;g_1)).

Множина класів бордизмів n-вимірних многовидів утворюють абелеву групу \Omega_n^O відносно незв'язного об'єднання, що називають групою бордизмів. Нулем в ній служить клас бордизмів, що складаються з многовидів, які є межею деякого многовиду (інші назви: M — обмежуючий многовид, M — внутрішньо гомологічно, або бордантно нулю). Елементом \Omega_n^O оберненим даному класу бордизмів, є сам цей клас (так як об'єднання двох копій M дифеоморфно межі прямого добутку M\times [0,\;1]). Пряма сума \Omega_*^O груп \Omega_n^O є комутативним градуйованим кільцем, множення у якому індуковане прямим добутком многовидів, з одиницею, заданою класом бордизмів точки.

Історія[ред.ред. код]

Перший приклад — бордизм оснащених многовидів, введений в 1938 році Понтрягіним, який показав, що класифікація цих бордизмів еквівалентна обрахуванню гомотопічних груп сфер \pi_i(S^n), і таким шляхом зміг знайти \pi_{n+1}(S^n) і \pi_{n+2}(S^n). Неорієнтовані та орієнтовані бордизми були уведені в 1951—53 роках Рохліним, який обрахував \Omega_n^{SO} для n\leqslant4. Понтрягін довів, що якщо два многовида бордантні, то у них співпадають характеристичні числа. Згодом виявилося, що зворотне теж вірно.

Література[ред.ред. код]

  • Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология / Пер. с англ. — М: Мир, 1972. — 280 с.

Див. також[ред.ред. код]