Борнове наближення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Бо́рнове набли́ження — метод розв'язку квантово-механічної задачі розсіювання часток, який зводиться до заміни невідомої хвильової функції в правій частині рівняння Шредінгера в інтегральній формі на відомий вираз.

Наприклад, при розгляді розсіювання безспінових часток, які взаємодіють через потенціал  V(r) \, стаціонарне рівняння Шредінгера можна переписати у вигляді

 \psi(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} - \frac{\mu}{2\pi\hbar^2} \int 
\frac{\exp (ik |\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime| )}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime|}V(r^\prime) \psi(\mathbf{r}^\prime) d^3 r^\prime,

де  \mu  — зведена маса,  \hbar  — приведена стала Планка,  \mathbf{k}  — хвильовий вектор частинки, яка налітає на мішень,  \psi(\mathbf{r})  — невідома функція.

Невідома хвильова функція входить до правої частини рівняння й стоїть під інтегралом. Це рівняння можна підставити саме в себе, тобто замінити в правій частині під інтегралом хвильову функцію на той вираз, який дає для неї саме рівняння. Як наслідок,

 \psi(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} - \frac{\mu}{2\pi\hbar^2} \int 
\frac{\exp (ik |\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime| )}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime|}V(r^\prime) e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}^\prime}  d^3 r^\prime
+  \left(\frac{\mu}{2\pi\hbar^2} \right)^2 \int \int
\frac{\exp (ik |\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime| )}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime|}V(r^\prime) 
\frac{\exp (ik |\mathbf{r}^\prime - \mathbf{r}^{\prime\prime}| )}{|\mathbf{r}^\prime - \mathbf{r}^{\prime\prime}|}V(r^{\prime\prime})
\psi(\mathbf{r}^{\prime\prime}) 
d^3 r^\prime d^3 r^{\prime\prime}.

Таку процедуру можна повторювати N разів, отримуючи в правій частині дедалі вищі ступені  V(r) \, .

Якщо процедуру обірвати на N-му кроці й відкинути інтеграл із невідомою функцією, то одержимо N-те Борнове наближення для хвильової функції. Обривання процедури зазвичай обґрунтовується або малістю потенціалу  V(r) \, або обмеженістю області його дії.

Найчастіше використовується перше Борнове наближення. Його часто називають просто Борновим наближенням.

Борнове наближення можна використовувати при розсіянні будь-яких хвиль, наприклад, електромагнітних.

Джерела[ред.ред. код]

  • Федорченко А.М. (1993). Теоретична фізика. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика. Т.2. Київ: Вища школа. , 415 с.
  • Юхновський І.Р. (2002). Основи квантової механіки. Київ: Либідь. 
  • Давыдов А.С. (1973). Квантовая механика. Москва: Наука. 


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.