Брамагупта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Брамагупта
ब्रह्मगुप्त
Brahmagupta.jpg
Народився 598
Бхілман, Індія
Помер 668
Галузь наукових інтересів математика, астрономія
Відомий завдяки: «Перегляд системи Брами»

Брамагу́пта (Брамагупта, санскр. ब्रह्मगुप्त; *598 — †668) — давньоіндійський математик і астроном, який написав важливі роботи з математики та астрономії: теоретичний трактат Brāhmasphuṭasiddhānta («Перегляд системи Брами») та більш практичний текст Khaṇḍakhādyaka. Трактати написані у віршованій формі, що було досить популярним явищем серед індійських математиків.

Брамагупта першим ввів правила обчислення з нулем.

Біографія[ред.ред. код]

Вважається, що Брамагупта народився в 598 році нашої ери в Бхілмані — місті в штаті Раджастан Північно-Західної Індії. У стародавні часи місто Бхілман було резиденцією влади Гурджар. Його батьком був Джиснугупта. Він, ймовірно, прожив більшу частину свого життя в Бхілмані під час правління (і, можливо, під патронажем) короля Вяжрамукха. Під час його перебування в Бхілмані написав чотири твори з математики та астрономії. У 628 р. виклав четверту індуїстську астрономічну систему у віршованій формі у творі «Перегляд системи Брами» (Брахма-спхута-сіддханта). Дві його глави присвячені математиці, в тому числі арифметичній прогресії, доведенню різних геометричних теорем і розв'язанню квадратних рівнянь, які мають дійсні розв'язки. Решта 23 глави присвячені астрономії: у них описані фази Місяця, з'єднання планет, дані розрахунки щодо положень планет. Велика частина роботи присвячена затемненням Сонця і Місяця, розрахунку розташування планет в гороскопі.

До нас дійшов лише твір Брамагупти «Перегляд системи Брами» (628), значна частина якого присвячена арифметиці й алгебрі. У ньому викладено відомості про арифметичну прогресію (правило знаходження суми), методи розв'язування квадратних рівнянь з дійсними коренями, а також розв'язування в цілих числах деяких неозначених рівнянь.[1]

Внесок у математику[ред.ред. код]

Арифметика[ред.ред. код]

Брахмпгупта одним з перших встановив правила арифметичних операцій над від'ємними числами та нулем. Запропонував метод обчислення квадратного кореня та метод вирішення деяких квадратних рівнянь.

Тотожність Брамагупти[ред.ред. код]

Тотожність Брамагупти стверджує, що добуток двох сум двох квадратів саме є сумою двох квадратів, причому двояким чином.

(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2 = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2.

Наприклад,

(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 26^2 + 15^2 = 30^2 + 1^2.
До доказу теореми Брамагупти.

Теорема Брамагупти[ред.ред. код]

Нехай є вписаний чотирикутник, діагоналі якого взаємно перпендикулярні. Опустимо з точки перетину діагоналей перпендикуляр на одну з його сторін. Якщо продовжити його по інший бік від точки перетину діагоналей, цей перпендикуляр ділить протилежну сторону чотирикутника на дві рівні частини.

Формула Брамагупти[ред.ред. код]

Формула Брамагупти є узагальненням формули Герона для площі трикутника. А саме, площа S вписаного у коло чотирикутника зі сторонами a, b, c, d і півпериметр p дорівнює

S = sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.

Відома ще одна формула Брамагупти для радіуса описаного кола довільного трикутника:

R=frac{ab}{2h_c}=frac{bc}{2h_a}=frac{ac}{2h_b},

де a, b, c — сторони трикутника, h_a, h_b та h_c — його висоти.

Задача Брамагупти[ред.ред. код]

Brahmaguptas formula.svg

Задача Брамагупти — побудувати за допомогою циркуля та лінійки вписаний чотирикутник за чотирма його сторонами[2]. Одне з рішень використовує кола Аполлонія.

Вклад в астрономію[ред.ред. код]

Деякі дослідники вважають, що араби познайомилися з індійською астрономією у VIII столітті виключно завдяки праці Брамагупти Брахма-спхута-сіддханта.[3] Халіф Аль-Мансур (712–775) запросив 770 року до Багдаду вченого з Удджайна на ім'я Канків, який викладав індійську систему астрономії на основі Брахма-спхута-сіддханта. На прохання халіфа математик та філософ Мухаммед аль-Фазарі переклав праці Брамагупти на арабську мову.

Астрономічні подання Брамагупти, викладені в Брахма-спхута-сіддханта, свідчать про високий рівень його досліджень та наукової прозорливості. Так, у сьомому розділі праці, яка називається «Про затемнення Місяця», Брамагупта спростовує уявлення про те, що Місяць знаходиться далі від Землі, ніж Сонце.[4]

7.1. Якби Місяць був вище Сонця, то її ближня до Сонця половина завжди була б освітлена.

7.2. Аналогічно, освітлену Сонцем частину Місяця завжди було б видно, а неосвітлена частина залишалася б невидимою.

7.3. Яскравість [освітленої частини Місяця] збільшується у напрямку до Сонця. Наприкінці світлого півмісяця ближча половина освітлена, а інша половина темна. Відтак, висоту рогів півмісяця можна обчислити.

— Plofker, Kim (2007). "Mathematics in India". The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.

Брамагупта пояснює, що оскільки Місяць ближче до Землі, ніж Сонце, ступінь освітленості Місяця залежить від взаємного розташування Сонця та Місяця, і може бути обчислена виходячи з величини кута між цими двома небесними тілами.

Важливим внеском Брамагупти в астрономію є методи розрахунку положення небесних тіл з плином часу (ефемериди), їх сходів та заходів, з'єднань, а також розрахунку сонячних та місячних затемнень. Брамагупта піддав критиці уявлення пуранічної космології про те, що Земля є пласкою або порожнистою. Він стверджував що Земля і небо мають сферичну форму і що Земля рухається. 1030 року газневідський астроном Аль-Біруні у своїй праці «Та'ріх аль-Гінд», прокоментував роботу Брамагупти. Біруні зазначав, що на зауваження критиків теорії кулястої Землі («Якби це було так, то камені та дерева падали б з землі») Брамагупта відповів:

«Навпаки, якби це було не так, то Земля не могла б зберігати свою форму навіть протягом хвилин. […] Усі важкі речі притягуються до центру землі […] Земля однакова з усіх боків. Всі люди на Землі стоять, і всі важкі речі падають на землю за законом природи, так влаштована природа Землі, щоб притягувати та тримати речі, так як природа води — текти, вогню — горіти, вітру — приводити в рух… Земля — це єдина низька річ, всі предмети завжди повернуться до неї з будь-якого напрямку, куди б ви їх не кинули, і ніколи не піднімуться вгору від землі».

— Брамагупта, Брахма-спхута-сіддханта (628) (cf. al-Biruni (1030), Indica)

Про силу тяжіння Землі Брамагупта говорив:

«Тіла падають на землю, оскільки це в природі Землі — притягувати їх, так само як в природі води-текти.»

— Thomas Khoshy, Elementary Number Theory with Applications, Academic Press, 2002, p. 567. ISBN 0-12-421171-2.

Твори[ред.ред. код]

Основні праці Брамагупти, «Брахма-спхута-сіддханта» (628), містить 25 розділів:

  1. Про стан земної кулі і форму неба та землі.
  2. Про обертання світил і про визначення часу; про те, як знаходити середні положення світил; про визначення синуса дуги.
  3. Про складання таблиці світил.
  4. Про три проблеми, а саме: про тіні, про частину дня, що минула, і про гороскопи; а також про те, як виводити одне з них з іншого.
  5. Про те, як світила з'являються через промення Сонця і як вони ховаються за ними.
  6. Про те, як показується молодий місяць, і про його два роги.
  7. Про затемнення Місяця.
  8. Про затемнення Сонця.
  9. Про тіні Місяця.
  10. Про з'єднання та протистоянні світил.
  11. Про широти світил.
  12. Про критику того, що міститься у книгах та таблицях, і про розрізнення правильного від неправильного.
  13. Про арифметику та її застосування в обчисленні відстаней і в інших випадках.
  14. Про уточнення середнього положення світил.
  15. Про виправлення таблиці світил.
  16. Про точне дослідженні трьох проблем.
  17. Про відхилення затемнень.
  18. Про точне визначення появи молодого місяця і його двох рогів.
  19. Про метод «Куттак».
  20. Про розрахунки у розмірах віршів та метриці.
  21. Про кола та інструменти.
  22. Про чотири виміри часу — по Сонцю, по сходу, по Місяцю і по місячним станціям.
  23. Про знаки для чисел і цифр у віршованих творах з цього предмету.
  24. Про докази, що не використовують математику.

Друга робота Брамагупти, «Кхандакхадьяка» (655), також являє собою фундаментальну працю з астрономії.

«Брахма-спхута-сіддханта» була перекладена арабською мовою у другій половині VIII ст. Переклад, який було виконано у вигляді таблиць — Зіджа — з необхідними поясненнями та рекомендаціями, отримав назву «Великий Сіндхінд».

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Українська радянська енциклопедія. В 12-ти томах / За ред. М. Бажана. — 2-ге вид. — К.: Гол. редакція УРЕ, 1974-1985.
  2. В. В. Прасолов, Задачи по планиметрии
  3. Brahmagupta, and the influence on Arabia. Retrieved 23 December 2007.
  4. Plofker, Kim (2007). «Mathematics in India». The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.