Булева алгебра з двома елементами

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Булева алгебра з двома елементамибулева алгебра на булевій множині. Використовується в бінарній логіці.

Визначення[ред.ред. код]

B - це частково впорядкована множина і елементи цієї множини є також її обмежені множини. Операція арності n це функція \ B^n \to B. Булева алгебра складається з двох бінарних операцій і унарної операції. Ця алгебра є фундаментом функціонування цифрових дискретних систем. Операція \lor в такій алгебрі має назву "логічного АБО" (logical OR), операція \land -- "логічного І" (logical AND), а елементам 1 та 0 ставляться у відповідність твердження "істина" (true) та "неправда" (false).

Деякі основні тотожності[ред.ред. код]

  • 0\lor0 = 1\land0 = 0\land1 = 0
  • 1\land1 = 0\lor1 = 1\lor0 = 1
  • 1\lor1 = 1
  • 0\land0 = 0
  • \overline{1} = 0
  • \overline{0} = 1

Зверніть увагу:

  • \land і \lor працює так само, як в чисельній арифметиці, окрім того, що 1\land1 = 1
  • обмінявши 0 і 1, і '\land' і '\lor' отримаємо істину, саме в цьому полягає подвійне відношення порядку
  •  A\land A=A
  •  A\lor A=A
  •  A\land 0=A
  •  A\land 1=1
  •  A\lor 0=0
  • \overline \lor {\overline{A}}=A

Виконується властивість дистрибутивності:

  • \ A\lor(B\land C) = (A\lor B) \land (A\lor C);
  • \ A\land(B\lor C) = (A\land B)\lor(A\land C)
  • A\lor B=\overline{\overline{A}\land\overline{B}}
  • A\land B=\overline{\overline{A}\lor\overline{B}}
  • \ A\lor B\lor C = B\lor C\lor A
  • \overline{A}A = 1
  • \ A\lor 0 = A