Бікомплексні числа

Бікомплексні числа — це гіперкомплексні числа виду $\ a + bi_1 + ci_2 + dj,$ де

$\ a, b, c, d$ — дійсні числа,

$\ i_1, i_2, j$ — уявні одиниці.

Бікомплексне число можна записати у вигляді $\ (a + bi_1) + (c + di_1)i_2 = A + Bi_2,$ де

$\ A, B$ будуть комплексними числами.

Насправді ж навпаки, бікомплексні числа визначили за допомогою подвоєння комплексних чисел (замінивши їх дійсні частини на комплексні). Але на відміну від кватерніонів, вимагали збереження комутативності множення.

Отже, позначивши $\ j = i_1 i_2,$ та використавши комутативність множення із $\ i_1^2 = i_2^2 = -1$ отримаємо

$\ j^2 = i_1 i_2 i_1 i_2 = i_1^2 i_2^2 = +1$

та

$\ i_1 j = j i_1 = -i_2,$

$\ j_2 j = j j_2 = -i_1.$

Бікомплексні числа утворюють комутативне кільце, тобто, множення є асоціативним, комутативним та дистрибутивним відносно додавання.

Але не є тілом чи полем, оскільки мають дільники нуля.

Арифметичні операції

• $\ (A+Bi_2) (C+Di_2) = (AC-BD) + (AD + BC)i_2$

Діагональний базис

В бікомплексних числах, як і в подвійних числах, присутня уявна одиниця $\ j^2 = +1,$ отже, також існують два ортогональні ідемпотентні елементи:

$e_1 = {1+j \over 2}, \quad e_2 = {1-j \over 2} \qquad \Rightarrow \qquad \begin{cases} e_1 e_1 = e_1 \\ e_2 e_2 = e_2 \\ e_1 e_2 = 0 \end{cases},$

які можна використати як альтернативний базис. Бікомплексні числа переводяться в діагональний базис так:

$\ A + Bi_2 = (A - B i_1)e_1 + (A + B i_1)e_2 = \Big(a+d + (b-c)i_1\Big)e_1 \; + \; \Big(a-d + (b+c)i_1\Big)e_2 = \tilde{A}e_1 + \tilde{B}e_2$

У даному базисі додавання, множення та ділення обчислюються покомпонентно. Ділення не визначене коли $\tilde{A}$ чи $\tilde{B}$ рівні нулю.

Джерела

• И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. — М.: Наука, 1973.