Білінійна форма

Біліні́йна фо́рма (білінійний функціонал, білінійна функція) — це таке відображення декартового квадрата векторного простору $\ V$ в скалярне поле $\ F$, що є лінійним по кожному зі своїх аргументів:

$\ B: V\times V\to F,$

скалярне поле — це, зазвичай, дійсні числа $\R$ чи комплексні числа $\C.$

• $\ B(u + u',v) = B(u,v) + B(u',v),$
• $\ B(u,v + v') = B(u,v) + B(u,v'),$
• $\ B(\lambda u,v) = B(u, \lambda v) = \lambda\,B(u,v).$

Білінійна форма $\ B(v,u)$ називається спряженою до форми $\ B(u, v)$ і позначається $\ B^*.$

Для випадку комплексних чисел цікавішими є сесквилінійні форми, що є подібними до білінійних, але є спряжено-лінійними по одному з аргументів.

Координатне представлення

• Якщо $\ (e_1, \ldots, e_n)$ — деякий базис лінійного простору $\ V,$ то білінійна форма буде представлена як:

$B(\textbf{x,\; y}) = \textbf{x}^{\mathrm{T}}A\textbf{y} = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i y_j$

де $\ A$ — квадратна матриця з елементами $\ a_{ij}=B(e_i, e_j).$

• Якщо $\ (e'_1 \ldots e'_n) = (e_1 \ldots e_n) S$ деякий інший базис в $\ V,$ де $\ S$ — невироджена матриця.

Тоді при переході до нового базису матриця білінійної форми зміниться на конгруентну матрицю:

$\ A' =S^{T} A S.$

Пов'язані визначення

• Білінійна форма називається симетричною, якщо для довільних $\ u,v$ виконується $\ B(u,v) = B(v,u)$ і

кососиметричною, якщо $\ B(u,v) = -B(v,u).$

Довільна білінійна форма може бути представлена у вигляді суми симетричної і кососиметричної форми:

$\ B^{\pm} = \frac{1}{2} (B \pm B^*) \quad \to \quad B = B^{+} + B^{-}$

• Симетрична білінійна форма називається додатноозначеною (від'ємноозначеною) якщо $\forall x\neq 0: \;\; B(x,x)>0 \quad (B(x,x)<0).$

Додатноозначена білінійна форма задовільняє всі аксіоми скалярного добутку.

Симетрична білінійна форма

Симетричні білінійні форми тісно пов'язані з квадратичними формами.

Симетричну білінійну форму A(x,y), називають полярною до квадратичної форми A(x,x). Матриця білінійної форми збігається з матрицею полярної до неї квадратичної форми в тому ж базисі.

• Маючи білінійну форму $\ B$ (не обов'язково симетричну), отримаємо квадратичну форму як:

$\ Q(u) = B(u,u)$

• І навпаки, маючи квадратичну форму $\ Q$, використавши правило паралелограма, отримаємо асоційовану з нею симетричну білінійну форму:

$B(u,v) = \frac14\left(Q(u+v) - Q(u-v)\right).$

Ортогональний базис

Базис $\ (e_1, \ldots, e_n)$ називається ортогональним по відношенню до $\ B$ якщо:

$\ \forall i \neq j: \quad B(e_i, e_j) = 0.$

• Завжди можна знайти ортогональний базис для симетричної білінійної форми (доводиться методом математичної індукції).

• Базис є ортогональним тоді і тільки тоді, коли в ньому матриця $\ A$ є діагональною.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. (1967). Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576. 
• Гельфанд И.М. (1971). Лекции по линейной алгебре (вид. четверте). Москва: Наука. с. 271. ISBN 5791300158.