Білінійна інтерполяція

Білінійна інтерполяція — узагальнення лінійної інтерполяції для функції двох змінних. Ідея в тому, що проводиться лінійна інтерполяція по одній осі, а потім по іншій осі.

Відомо значення функції в чотирьох червоних точках. Значення функції в зеленій точці потрібно інтерполювати.

Приклад білінійної інтерполяції в одиничному квадраті. Інтерпольовані значення представлені кольором.

Якщо необхідно інтерполювати значення функції f в точці P = (x, y). І задано значення функції в навколишніх до P точках Q₁₁ = (x₁, y₁), Q₁₂ = (x₁, y₂), Q₂₁ = (x₂, y₁), и Q₂₂ = (x₂, y₂).

Спершу лінійно інтерполюємо в напрямку осі x:

$f(R_1) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{11}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{21}), \quad R_1 = (x,y_1)$

$f(R_2) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{12}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{22}), \quad R_2 = (x,y_2)$

Тепер проводимо линійну інтерполяцію в напрямку осі y (між точками $R_1$ та $R_2$) щоб отримати кінцевий результат:

$f(P) \approx \frac{y_2-y}{y_2-y_1} f(R_1) + \frac{y-y_1}{y_2-y_1} f(R_2).$

Коли відомі вершини є вершинами одиничного квадрата: (0, 0), (0, 1), (1, 0) та (1, 1), формула білінійної інтерполяції спрощується до

$f(x,y) \approx f(0,0) \, (1-x)(1-y) + f(1,0) \, x(1-y) + f(0,1) \, (1-x)y + f(1,1) xy.$

можна записати у вигляді наступної білінійної форми:

$f(x,y) \approx \begin{bmatrix} 1-x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(0,0) & f(0,1) \\ f(1,0) & f(1,1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1-y \\ y \end{bmatrix}$

Інтерполяція є добутком двох лінійних функцій. І вона також може бути записана як:

$b_1 + b_2 x + b_3 y + b_4 x y \,$

де

$b_1 = f(0,0) \,$

$b_2 = f(1,0)-f(0,0) \,$

$b_3 = f(0,1)-f(0,0) \,$

$b_4 = f(0,0)-f(1,0)-f(0,1)+f(1,1) \,$.

Результат білінійної інтерполяції не залежить від порядку виконання кроків інтерполяції.

Очевидним узагальненням білінійної інтерполяції на функцію трьох змінних є — трилінійна інтерполяція.

Приклад програми

Нижче наведено приклад програми білінійної інтерполяції зображення, написаний на С++

void resample( const unsigned* inBuf  // вхідний масив пікселів
             , unsigned* outBuf       // результат - вихідний масив пікселів
             , int oldWidth           //ширина оригіналього зображення
             , int oldHeight          //висота оригіналього зображення
             , int newWidth           //ширина результуючого зображення
             , int newHeight          //висота результуючого зображення
             )
{
    const float div_height = (float) ( (oldHeight - 1) ) / (newHeight - 1);
    const float div_width = (float) ( (oldWidth - 1) ) / (newWidth - 1);
    float i_tmp = 0.f;
    for ( int i = 0; i < newHeight; ++i, i_tmp += div_height )
    {
        float j_tmp = 0.f;
        int l = (int)(i_tmp);
        if (l > oldHeight - 2)
        {
            l = oldHeight - 2;
        }
        const float u = i_tmp - l;
        l *= oldWidth;
        for ( int j = 0; j < newWidth; ++j, j_tmp += div_width )
        {
 
            int c = (int) (j_tmp);
            if (c > oldWidth - 2)
            {
                c = oldWidth - 2;
            }
            const float t = j_tmp - c;
 
            //Коефіціенти
            const float d1 = (1 - t) * (1 - u);
            const float d2 = t * (1 - u);
            const float d3 = t * u;
            const float d4 = (1 - t) * u;
 
 
            const int ind = l + c; // для оптимізації (щоб не рахувати далі 4 рази)
        // значення кольору в 4 пікселях, за якими інтерполюємо
            const unsigned p1 = inBuf[ ind ];
            const unsigned p2 = inBuf[ ind + 1 ];
            const unsigned p3 = inBuf[ ind + oldWidth + 1 ];
            const unsigned p4 = inBuf[ ind + oldWidth];
 
            // Записуємо результуючий піксель
            *outBuf++ = p1 * d1 + p2 * d2 + p3 * d3 + p4 * d4;
        }
    }
}

Дивись також

• Інтерполяція