Бінарна купа

Двійкова купа (англ. binary heap) — це структура даних, що є масивом, який можна розглядати як майже повне бінарне дерево. Кожен вузол цього дерева відповідає певному елементу масива. На всіх рівнях, крім, можливо останнього, дерево повністю заповнене (заповнений рівень — такий, що містить максимально можливу кількість вузлів). Останній рівень заповнюється послідовно зліва направо до тих пір, доки в масиві не закінчатся елементи.

Для масиву A у корені дерева знаходиться елемент A[1]. Далі дерево будується за наступним принципом: якщо якомусь вузлу відповідає індекс i, то індекс його батьківського вузла обчислюється за допомогою процедури Parent(i), індекс лівого дочірнього вузла — за допомогою процедури Left(i), а індекс правого дочірнього вузла — за допомогою процедури Right(i):

Parent(i)
    return $\lfloor\;i/2\rfloor$

Left(i)
    return $2i$

Right(i)
    return $2i+1$ 

Розглядають два види бінарних куп: неспадні і незростаючі. В обох видах значення, що розташовані у вузлах купи, задовільняють властивості купи (англ. heap property). Властивісь незростаючої купи (англ. max-heap property) полягає в тому, що для кожного вузла крім кореневого виконується нерівність:

$A[Parent(i)] \ge\; A[i]$.

Іншими словами, значення вузла не перевищує значення батьківського вузла. Таким чином найбільший елемент знаходиться в корені дерева. Принцип побудови неспадної купи(англ. min-heap) протилежний. Властивість неспадної купи (англ. min-heap property) полягає в тому, що кожен елемент крім кореневого є неменшим за свій батьківський елемент:

$A[Parent(i)] \le\; A[i]$.

Підтримка властивостей купи

Підтримку властивості купи можна здійснювати за допомогою процедури Max_Heapify (для незростаючих бінарних куп). На вхід подається масив A й індекс i цього масиву. При виклику процедури Max_Heapify припускається, що бінарні дерева, коренями яких є елементи Left(i) і Right(i) є незростаючими купами, але сам елемент A[i] може бути меншим за його дочірні елементи і тим самим порушувати властивість незростаючої купи. Процедура Max_Heapify спускає значення елемента A[i] вниз по купі до тих пір, доки дерево в якому цей елемент буде корнем не стане незростаючою бінарною купою:

Max_Heapify(A,i)

 1 $l\gets \;Left(i)$
 2 $r\gets \;Right(i)$
 3 if $l \le \;heap\_size[A]$ і $A[l]>A[i]$
 4     then $largest \gets\; l$
 5     else $largest \gets\; i$
 6 if $r \le \;heap\_size[A]$ і $A[r]>A[largest]$
 7     then $largest \gets\; r$
 8 if $largest \ne\;i$
 9     then Поміняти $A[i]\leftrightarrow\;A[largest]$
 10         Max_Heapify(A,largest)

Час роботи процедури в найгіршому випадку пропорційний висоті купи. Якщо купа складається з n елементів, то її висота log₂(n) . Тому оцінка часу роботи одного визову Max_Heapify є O(log n).

Для падтримки властивості неспадної бінарної купи можна скористатись процедурою Min_Heapify. Вона повністю подібна до Max_Heapify, тільки в рядках 3 і 6 алгоритму знак ">" треба замінити на "<".

Побудова купи

За допомогою процедури Max_Heapify можна перетворити масив A[1..n], де n = length[A], у незростаючу купу. Всі елементи підмасиву $A[(\lfloor\;n/2\rfloor\;+1)..n]$ є листами дерева, тому кожен з них можна вважати одноелементною купою, з якої можна почати процес побудови. Процедура Build_Max_Heap проходить по всіх інших вузлах і для кожного з них виконує процедуру Max_Heapify:

Build_Max_Heap(A)

1 $heap\_size[A] \gets\; length[A]$
2 for $i \gets\;\lfloor\;length[A]/2\rfloor$ downto 1
3     do Max_Heapify(A,i)

По завершенню роботи процедури, масив A організується в незростаючу купу. Час роботи процедури Build_Max_Heap можна записати так:

$O\left(n\sum_{h=0}^{\lfloor\;\log_{2}n\rfloor}\frac{h}{2^h}\right) = O\left(n\sum_{h=0}^{\infty}\frac{h}{2^h}\right) = O(n)$

Для створення неспадної купи, необхідно замінити у третьому рядку алгоритма виклик Max_Heapify на Min_Heapify.

Алгоритм впорядкування купою

Робота алгоритму сортування купою починається з виклику процедури Build_Max_H, за допомогою якої з початкового масиву A[1..n] створюється незростаюча купа. Далі послідовно з купи виймається найбільший елемент, який міняють з останнім в купі. Після кожного обміну розмір купи зменшують на одиницю. В кінці отримують повністю відсортований неспадній масив:

Heapsort(A)
1 Build_Max_Heap(A)
2 for $i\gets\;length[A]$ downto 2
3     do Поміняти $A[1]\leftrightarrow\;A[i]$
4        $heap\_size[A]\gets\;heap\_size[A]-1$
5        Max_Heapify(A,1)

Час роботи процедури Heapsort рівний O(n log n), оскільки всього потрібно n-1 викликів Max_Heapify, кожен з яких працює за O(log n).

Черга з пріоритетами

Для того, щоб реалізувати на купі операції черги з пріоритетами використовують ще одну допоміжну процедуру Un_Max_Heapify(A,i). Ця процедура підтримує властивість незростаючої купи (анологічно Un_Min_Heapify(A,i) для неспадної купи), за умови якщо властивість купи порушується в елементі з індексом i — він може бути більшим за батьківський елемент. При цьому припускається, що в усіх інших елементах властивість виконується і батьківский елемент i-го більший кожного з нащадків i-го елемента. Процедура "піднімає" елемент угору по дереву доти, доки він не перестане порушувати властивість купи:

Un_Max_Heapify(A,i)
1 if i = 1
2    then return
3 if A[Parent(i)]<A[i]
4    then Поміняти $A[Parent(i)]\leftrightarrow\;A[i]$
5         Un_Max_Heapify(A,Parent(i))

Час роботи процедури є $O(log n)$.

Процедура черги з пріоритетами Insert реалізується таким чином: в кінець купи дописується один елемент (при цьому розмір купи збільшується на 1), потім за допомогою Un_Max_Heapify цей елемент піднімаєтся на необхідний рівень.

Insert(A,x)
1 $heap\_size[A]\gets\;heap\_size[A]+1$
2 $A[heap\_size[A]]\gets\;x$
3 Un_Max_Heapify(A,heap_size[A])

Максимальний елемент знаходиться в першому елементі купи, тому процедура Maximum реалізується тривіально:

Maximum(A)
1 if heap_size[A] = 0
2    then Помилка "Черга пуста"
3    else return A[1]

В процедурі Extract_Max розмір купи зменшується на 1, останній елемент записується на місце першого (прицьому порушується властивість купи). Властивість купи відновлюється процедурою Max_Heapify.

Extract_Max(A)
1 if heap_size[A] = 0
2    then Помилка "Черга пуста"
3 $max\gets\;A[1]$
4 $A[1]\gets\;A[heap\_size[A]]$
5 $heap\_size[A]\gets\;heap\_size[A]-1$
6 if heap_size[A] > 0
7    then Max_Heapify(A,1)
8 return max

В процедурі Change_Key можливі три варіанти:

1. ключ елемента збільшився
2. ключ елемента зменшився
3. ключ елемента не змінився

В залежності від варіанту властивість купи після зміни ключа треба відновлювати або процедурою Un_Max_Heapify або процедурою Max_Heapify:

Change_Key(A,i,k)

1 $old\_key\gets\;A[i]$
2 $A[i]\gets\;k$
3 if k>old_key
4     then Un_Max_Heapify(A,i)
5     elseif k<old_key
6            Max_Heapify(A,i)

Асимптотична складність операцій

Процедура Maximum виконується за $\mathit{O(1)} \,\!$, процедури Insert, Extract_Max, Change_Key виконуються за $\mathit{O(\log_2 n)} \,\!$.

Див. також

• Купа (структура даних)

Література

• Алгоритм сортування купою був запропонований Вільямсом (J. W. J. Williams. Algorithm 232 (HEASPORT). Communications of the ACM, 7:347-348, 1964), який також описав, що за допомогою купи можна реалізувати чергу з пріорітетами. Процедура Build_Max_Heap була розроблена Флойдом (Robert W. Floyd. Algorithm 245 (TREESORT). Communications of the ACM, 7:701, 1964).
• Детальний опис бінарної купи, можна знайти в книзі "Алгоритми, побудова і аналіз" Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Рівест, К. Штайн (Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Roland L.Rivest, Clifford Stein, "Introduction to ALGORITHMS" second edition, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London ISBN 0-07-013151-1)