Біном Ньютона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Біно́м Нью́тона — це вираз вигляду (a+b)ⁿ. Біном розкладається в суму одночленів, які є добутками деяких степенів його доданків a і b. Школярі-восьмикласники знають формули розкладу бінома Ньютона в многочлен із степенями a і b при n=2 та 3:

(a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

(a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Спробуємо розкласти (a+b)ⁿ в многочлен у загальному випадку n. Запишемо його у вигляді, пронумерувавши дужки:

$\begin{matrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ (a+b) & (a+b) & \ldots & (a+b) \end{matrix}$

Очевидно, що кожний доданок містить n множників — k множників a і n-k множників b, тобто має вигляд a^kb^n-k, де k≤n, k≥0. Кожний такий доданок взаємно однозначно відповідає підмножині номерів дужок, з яких для утворення цього доданка, бралися множники a. Таким чином, доданків $a k b n - k$ рівно стільки, скільки таких підмножин. В комбінаториці це число називається числом комбінацій з n по k і позначається $C^k_n$ або $\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right)$ . Отже,