Біном Ньютона

Біно́м Ньютона — вираз вигляду (a+b)ⁿ. Біном розкладається в суму одночленів, які є добутками деяких степенів його доданків a і b. В шкільній програмі вивчається формула бінома Ньютона із степенями n=2 та 3:

$\ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$\ (a+b)^3 = a^3 + 3 a^2b + 3 a b^2 + b^3$

Спробуємо розкласти (a+b)ⁿ в многочлен у загальному випадку n. Запишемо його у вигляді добутку, пронумерувавши дужки:

$\begin{matrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ (a+b) & (a+b) & \ldots & (a+b) \end{matrix}$

Кожний доданок містить n множників: k множників a і (n-k) множників b, тобто має вигляд a^kb^n-k, де k≤n, k≥0. Кожний такий доданок взаємно однозначно відповідає підмножині номерів дужок, з яких для утворення цього доданка, бралися множники a. Таким чином, доданків $a^kb^{n-k}$ рівно стільки, скільки таких підмножин. В комбінаториці це число називається числом комбінацій з n по k і позначається $C^k_n$ або $\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right)$. Отже,

$(a+b)^n = \sum_{k= 0}^n C^k_n a^k b^{n-k}$

Коефіцієнти при $a^kb^{n-k}$ називаються біноміальними, оскільки записуються в розкладі бінома (a+b)ⁿ.

Біноміальні коефіцієнти мають очевидну властивість симетрії:

$C^k_n = C^{n-k}_n$

Розглянемо окремі випадки бінома Ньютона:

• при b=1 маємо :$(a+1)^n = \sum_{k= 0}^n C^k_n a^k$,
• при a=b=1 маємо :$(1+1)^n = 2^n = \sum_{k= 0}^n C^k_n$,
• при a= −1, b=1 маємо :$(-1+1)^n = 0^n = \sum_{k= 0}^n C^k_n (-1)^k$.

Запишемо біноміальні коефіцієнти для початкових значень n=0, 1, …, 5 у трикутну таблицю (трикутник Паскаля):

$\begin{matrix} 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{matrix}$

З таблиці видно, що кожний елемент, який не є першим у своєму рядку, є сумою елемента над ним і елемента, розташованого над ним і ліворуч:

$C^k_n = C^{k-1}_{n-1} + C^{k}_{n-1}$.

Доведення цього факту можливе методом математичної індукції.

Дивіться також

• Біноміальний коефіцієнт
• Біном
• Біноміальний розподіл

Додаткова література

• И. И. Ежов, А. В. Скороход, М. И. Ядренко. Элементы комбинаторики. Москва:Наука, 1977. — 80 с.
• Вилекин Н. Я. Комбинаторика. Ленинград:Наука, 1969. — 328 с.

Посилання

Статті:

• Теорія множин і Комбінаторика: Біном Ньютона
• БИНОМ НЬЮТОНА И ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ
• Комбинаторика и бином Ньютона