Бісектриса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Бісектриса кута

Бісектри́са (лат. bis — двічі і лат. secare — розсікати, розтинати) — термін, що вживається в геометрії для позначення кількох споріднених понять.

  • Бісектриса кута — промінь, що проходить через вершину кута і ділить його навпіл. Кожна точка бісектриси однаково віддалена від сторін кута.
  • Бісектриса трикутника — відрізок бісектриси одного з кутів цього трикутника від вершини кута до перетину з протилежною стороною.

Властивості[ред.ред. код]

Побудова бісектриси
  • Теорема про бісектрисі: Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону в відношенні, рівному відношенню двох прилеглих сторін
  • Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці — інцентрі — центрі вписаною в цей трикутник кола.
  • Бісектриси одного внутрішнього та двох зовнішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка — центр однієї з трьох вневпісанних кіл цього трикутника.
  • Підстави бісектрис двох внутрішніх та одного зовнішнього кутів трикутника лежать на одній прямій, якщо бісектриса зовнішнього кута не паралельна протилежній стороні трикутника.
  • Якщо бісектриси зовнішніх кутів трикутника не паралельні протилежним сторонам, то їх основи лежать на одній прямій.
  • Якщо в трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник — рівнобедрений (теорема Штейнера — ЛЕМУС).
  • Побудова трикутника за трьома заданим бісектрисах за допомогою циркуля та лінійки неможлива,[1] причому навіть за наявності трісектора.[2]
  • В рівнобічному трикутнику бісектриса кута, протилежного основі трикутника, є медіаною та висотою.
  • Відстані від сторін кута до будь-якої точки бісектриси однакові.
  • Кожна бісектриса трикутника ділиться точкою перетину бісектрис у відношенні суми довжин прилеглих сторін до довжини протилежної, рахуючи від вершини.

Формули за участю довжини бісектриси[ред.ред. код]

Бісектриса трикутника. Виконується співвідношення BD:DC = AB:AC
l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}}
l_c = \sqrt{ab-a_lb_l}
l_c = \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}
l_c = \frac {h_c}{\cos \frac {\alpha-\beta}{2}}

Де:

  • l_c — бісектриса, проведена до сторони с
  • a, b, c — сторони трикутника проти вершин A,B,C відповідно
  • a_l, b_l — довжини відрізків, на які бісектриса l_c ділить сторону с
  • \alpha, \beta, \gamma — внутрішні кути трикутника, що лежать навпроти сторін а,b,c відповідно
  • h_cвисота трикутника, опущена на сторону c.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]