Бісектриса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Бісектриса кута

Бісектри́са (лат. bis — двічі і лат. secare — розсікати, розтинати) — термін, що вживається в геометрії для позначення кількох споріднених понять[1]:

  • Бісектриса кута — промінь, що проходить через вершину кута і ділить його навпіл. Кожна точка бісектриси однаково віддалена від сторін кута.
  • Бісектриса трикутника — відрізок бісектриси одного з кутів цього трикутника від вершини кута до перетину з протилежною стороною.

Властивості[ред.ред. код]

Побудова бісектриси
  • Теорема про бісектрису: Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону у відношенні, рівному відношенню двох прилеглих сторін
  • Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці — інцентрі — центрі вписаного в цей трикутник кола.
  • Бісектриси одного внутрішнього та двох зовнішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка — центр одного з трьох зовнівписаних кіл цього трикутника.
  • Основи бісектрис двох внутрішніх та одного зовнішнього кутів трикутника лежать на одній прямій, якщо бісектриса зовнішнього кута не є паралельною протилежній стороні трикутника.
  • Якщо бісектриси зовнішніх кутів трикутника не паралельні протилежним сторонам, то їх основи лежать на одній прямій.
  • Якщо в трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник — рівнобедрений (теорема Штейнера — Лемуса).
  • Побудова трикутника за трьома заданим бісектрисами за допомогою циркуля та лінійки неможлива,[2] причому навіть за наявності трисектора.[3]
  • В рівносторонньому трикутнику бісектриса кута, протилежного до основи трикутника, є медіаною та висотою.
  • Відстані від сторін кута до будь-якої точки бісектриси однакові.
  • Кожна бісектриса трикутника ділиться точкою перетину бісектрис у відношенні суми довжин прилеглих сторін до довжини протилежної, рахуючи від вершини.

Формули за участю довжини бісектриси[ред.ред. код]

Бісектриса трикутника. Виконується співвідношення BD: DC = AB: AC
l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}}
l_c = \sqrt{ab-a_lb_l}
l_c = \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}
l_c = \frac {h_c}{\cos \frac {\alpha-\beta}{2}}

Де:

  • l_c — бісектриса, проведена до сторони с
  • a, b, c — сторони трикутника проти вершин A, B,C відповідно
  • a_l, b_l — довжини відрізків, на які бісектриса l_c ділить сторону с
  • \alpha, \beta, \gamma — внутрішні кути трикутника, що лежать навпроти сторін а, b,c відповідно
  • h_c — висота трикутника, опущена на сторону c.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005. — 120 с. ISBN 966-504-431-1
  • Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. — Київ: Вежа, 2004. — 309 с. ISBN 966-7091-66-Х
  • Кушнір І. А. Трикутник і тетраедр в задачах: кн. для вчителя / І. А. Кушнір. — К. : Радянська школа, 1991. — 208 с. — ISBN 5-330-02081-6
  • Кушнір І. А. Повернення втраченої геометрії / І. Кушнір. — Київ: Факт, 2000. 280 с. ISBN 966-7274-75-5