Біфуркація подвоєння періоду

Біфуркація подвоєння періоду у дискретній динамічній системі є біфуркцією за якої система перемикається до нової поведінки з подвоєнням періоду вихідної системи. Біфуркація подвоєння періоду може також виникати у неперервних динамічних системах, коли новий граничний цикл виникає з існуючого граничного циклу, і період нового граничного циклу подвоєний, порівняно з вихідним.

Приклади

• Логістичне відображення
• Логістичне відображення для модифікованої кривої Філліпса

Біфуркаційна діаграма для модифікованої кривої Філліпса.

Розглянемо логістичне відображення для модифікованої кривої Філліпса:

$\pi_{t} = f(u_{t}) + a \pi_{t}^e$
$\pi_{t+1} = \pi_{t}^e + c (\pi_{t} - \pi_{t}^e)$
$f(u) = \beta_{1} + \beta_{2} e^{-u} \,$
$b > 0, 0 \leq c \leq 1, \frac {df} {du} < 0$

де $\pi$ — це дійсна інфляція, $\pi^e$ — це очікувана інфляція, u — рівень безробіття і $m - \pi$ — це грошові агрегати приросту. Прирівнюючи $\beta_{1} = -2.5, \ \beta_{2} = 20, \ c = 0.75$ і змінюючи $b$, отримаємо систему, яка зазнає біфуркції подвоєння періоду, і після певної точки стає хаотичною, що проілюсторовано на біфуркційній діаграмі.

• Комплексне квадратичне відображення

Біфуркція з періоду 1 до 2 для комплексного квадратичного відображення.

Біфуркації зполовинення періоду

Біфуркації зполовинення періоду (ліворуч), що призводять до зникнення хаосу, що змінюються на біфуркації подвоєння періоду(праворуч), які ведуть до хаотичного режиму.

Біфуркація зполовинення періоду у динамічній системі це біфуркація, за якої система переходить до нового режиму зі зменшенням періоду вихідної системи вдвічі. Серія біфуркацій зполовинення періоду веде від хаосу до порядку.

Див. також

• Теорія біфуркацій
• Константи Фейгенбаума
• Детермінований хаос
• Рівняння Лотки-Вольтерри

Посилання

• Біфуркація подвоєння періоду в дискретному часі, Динамічні процеси