Варіація функції

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Варіацією функції називається числова характеристика функції однієї дійсної змінної, пов'язана з її диференціальними властивостями. Для функції з відрізка на дійсній прямій в \R^n є узагальненням поняття довжини кривої.

Означення[ред.ред. код]

Нехай f:[a,\;b]\to\R^n. Тоді варіацією (також повною варіацією або повною зміною) функції f на відрізку [a,\;b] називається наступна величина:

V_a^b f\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup\limits_P\sum\limits_{k=0}^m\|f(x_{k+1})-f(x_k)\|,

тобто точна верхня грань за всіма розбиттями відрізка [a,\;b] довжин ламаних у \R^n, кінці яких відповідають значенням f у точках розбиття.

Пов'язані означення[ред.ред. код]

  • Функції, варіація яких обмежена на відрізку, називаються функціями обмеженої варіації, а клас таких функцій позначається V[a,\;b] або просто V.
    • У такому випадку визначена функція v(x)=V_a^x f, що називається функцією повної варіації для f.
  • Додатна варіація дійснозначної функції f на відрізку [a,\;b] називається наступна величина:
    P_a^b f\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup\limits_{P}\sum\limits_{k=0}^m\max\{0,\;f(x_{k+1})-f(x_k)\}.
  • Аналогічно означається від'ємна варіація функції:
    N_a^b f\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}-\inf\limits_{P}\sum\limits_{k=0}^m\min\{0,\;f(x_{k+1})-f(x_{k})\}.
  • Таким чином повна варіація функції може бути представлена ​​у вигляді суми
    V_a^b f=P_a^b f+N_a^b f.

Властивості функцій обмеженої варіації[ред.ред. код]

  • Сума і добуток функцій обмеженої варіації теж будуть мати обмежену варіацію. Частка двох функцій з V буде мати обмежену варіацію (іншими словами, належати класу V), якщо модуль знаменника на відрізку [a,\;b] буде більше, ніж позитивна стала.
  • Якщо a<x\leqslant y<b, а f\in V[a,\;b], то V_a^x f+V_x^y f=V_a^y f.
  • Якщо функція f неперервна в точці a справа і належить V[a,\;b], то \lim\limits_{x\to a{+}}v(x)=0.
  • Функція f(x), задана на відрізку [a,\;b], є функцією обмеженої варіації тоді й тільки тоді, коли вона може бути представлена у вигляді суми зростаючої і спадаючої на [a,\;b] функції (розклад Жордана).
  • Будь-яка функція обмеженої варіації обмежена і може мати не більше ніж зліченну множину точок розриву, причому всі першого роду.
  • Функція обмеженої варіації може бути представлена ​​у вигляді суми абсолютно неперервної функції, сингулярної функції та функції стрибків (розклад Лебега).

Всі ці властивості були встановлені Жорданом[1][2].

Обчислення варіації[ред.ред. код]

Варіація неперервно диференційовної функції[ред.ред. код]

Якщо функція f:[a,\;b]\to\R^n належить до класу C^1, тобто має неперервну похідну першого порядку на відрізку [a,\;b], то f — функція обмеженої варіації на цьому відрізку, а варіація обраховується за формулою:

\int\limits_a^b\|f^\prime(x)\|\,dx,

тобто рівна інтегралу норми похідної.

Історія[ред.ред. код]

Функції обмеженої варіації вивчалися К. Жорданом[1].

Спочатку клас функцій з обмеженою варіацією був введений К. Жорданом у зв'язку з узагальненням ознаки Діріхле збіжності рядів Фур'є кусково монотонних функцій. Жордан довів, що ряди Фур'є 2\pi-періодичних функцій класу V[0,\;2\pi] збігаються в кожній точці дійсної осі. Проте надалі функції обмеженої варіації знайшли широке застосування в різних областях математики, особливо в теорії інтеграла Стілтьєса.

Узагальнення[ред.ред. код]

Довжина кривої означається як природне узагальнення варіації на випадок відображень у метричний простір.

У випадку декількох змінних існує кілька різних означень варіації функції:

Φ-варіація функції[ред.ред. код]

Властивості[ред.ред. код]

Якщо розглядати дві функції \Phi_1(x) і \Phi_2(x) такі, що

\varlimsup_{x\to 0^+}\frac{\Phi_1(x)}{\Phi_2(x)}<\infty,

то для їх \Phi-варіацій справедливе відношення:

V_{\Phi_2}[a,\;b]\subset V_{\Phi_1}[a,\;b].

Зокрема,

V_{x^p}\subset V_{x^q}\subset V_{\exp(-x^{-\alpha})}\subset V_{\exp(-x^{-\beta})}

при 1\leqslant p<q<\infty,\;0<\alpha<\beta<\infty.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Лебег, А. Интегрирование и отыскание примитивных функций.
  • Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной.
  • Бари, Н. К. Тригонометрические ряды.

Примітки[ред.ред. код]

  1. а б Jordan C. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. — 1881. — t. 92. — № 5. — p. 228—230.
  2. Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974. — С. 234—238.