Векторне поле

Векторне поле утворене векторами (−y, x).

Ве́кторне по́ле — векторнозначна функція, відображення, яке кожній точці даного простору ставить у відповідність вектор. У сучасній диференціальній геометрії розглядається також узагальнення на довільні многовиди.

Коли початковий простір — евклідовий (cкінченовимірний векторний простір зі скалярним добутком), поняття векторного поля стає наочним, і тоді векторне поле інтерпретується як спосіб завдання рухів деякої динамічної системи: вектор в даній точці описує напрям і швидкість руху точки по фазовій кривій.

Якщо вибрати декартову систему координат, то поле може бути представлене як:

$\mathbf{F}(\mathbf{r}) = \{F_x(x,\ y,\ z),\ F_y(x,\ y,\ z),\ F_z(x,\ y,\ z)\}$

Математичні операції над векторними полями вивчають у векторному аналізі.

Серед характеристик векторного поля $\mathbf{F}$ відрізняють диференціальні, що стосуються поведінки поля в окремих точках (дивергенція $\operatorname{div}\mathbf{F}$ і ротор $\operatorname{rot}\mathbf{F}$), та інтегральні, що описують поле вздовж контура (циркуляція) або крізь певну поверхню (потік).

Диференціальні і інтегральні характеристики векторного поля пов'язані між собою теоремами Гауса, Остроградського та Стокса.

Для поля механічного походження, дивергенція і потік характеризують наявність джерел та стоків у полі, а ротор і циркуляція — обертальну здатність поля.

Чимало фізичних явищ, зокрема, в електромагнітній теорії і гідродинаміці описуються за допомогою векторних полів. Наведемо такі приклади:

• Електричне поле;
• Магнітне поле;
• Поле швидкостей потоку рідини або газу.

Джерела інформації

• Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. III. — Москва : Наука, 1969.

Див. також

У Вікіпедії є портал «Математика»

• Силова лінія,
• Похідна Лі,
• Скалярне поле,
• Тензорне поле.