Векторне поле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Ве́кторне по́ле — векторнозначна функція, відображення, яке кожній точці даного простору ставить у відповідність вектор. У сучасній диференціальній геометрії розглядається також узагальнення на довільні многовиди.

Коли початковий простір — евклідовий (cкінченовимірний лінійний простір зі скалярним добутком), поняття векторного поля стає наочним, і тоді векторне поле інтерпретується як спосіб завдання рухів деякої динамічної системи: вектор в даній точці описує напрям і швидкість руху точки по фазовій кривій.

Якщо вибрати декартову систему координат, то поле може бути представлене як:

Математичні операції над векторними полями вивчають у векторному аналізі.

Серед характеристик векторного поля відрізняють диференціальні, що стосуються поведінки поля в окремих точках (дивергенція і ротор ), та інтеґральні, що описують поле вздовж контура (циркуляція) або крізь певну поверхню (потік).

Диференціальні і інтегральні характеристики векторного поля пов'язані між собою теоремами Гауса, Остроградського та Стокса.

Для поля механічного походження, дивергенція і потік характеризують наявність джерел та стоків у полі, а ротор і циркуляція — обертальну здатність поля.

Чимало фізичних явищ, зокрема, в електромагнітній теорії і гідродинаміці описуються за допомогою векторних полів. Наведемо такі приклади:

• Електричне поле;
• Магнітне поле;
• Поле швидкостей потоку рідини або газу.

[ред.] Джерела інформації

• Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. III (1969), Москва: Наука.

[ред.] Дивіться також

• Силова лінія,
• Похідна Лі,
• Скалярне поле,
• Тензорне поле.

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.