Великі кардинальні числа

У математичній області теорії множин велика кардинальна властивість — певний вид властивості трансфінітних кардинальних чисел. Кардинали з такими властивостями, як і передбачає назва, як правило, дуже великі (наприклад, більше, ніж потужність континууму). Припущення, що такі кардинали існують, не може бути доведене в самій загальній аксіоматиці теорії множин і такі пропозиції можна розглядати в якості способу вимірювання як багато потрібно припустити, щоб бути в змозі довести деякі бажані результати. Іншими словами, вони можуть бути продемонстровані висловом Дана Скотта: «Якщо ви хочете більше, ви повинні взяти на себе більше».

Аксіома великих кардинальних чисел — це аксіома про те, що існує кардинальне число (або, можливо, багато які з них) з деякою зазначеною вище великою кардинальною властивістю. Не існує в цілому з'ясованого точного визначення того, що велика кардинальна властивість являє собою насправді, хоча по суті всі згодні з тим, що список великих кардинальних властивостей абсолютно вірно описує ці властивості.

Часткове визначення

Необхідною умовою для властивості великих кардинальних чисел є велика кардинальна властивість про існування такого великого невідомого кардинального числа, несумісного з теорією множин Цермело-Франкеля, і було доведено, що якщо теорія множин Цермело-Франкеля несуперечлива, то теорія множин Цермело-Франкеля + "не існування таких кардинальних чисел" узгоджується.

Ієрархія узгодженості сили

Спостереження щодо аксіоми великих кардинальних чисел є лінійно впорядкована узгодженою силою, але це лише спостереження, а не теорема (без прийнятого визначення великої кардинальної властивості воно не підлягає доведенню у звичайному сенсі). Слід також зазначити, що порядок узгодженої сили не обов'язково збігається з порядком розміру найменшого прикладу великої кардинальної аксіоми. Наприклад, існування великого кардинального числа набагато сильніше, з точки зору узгодженості сил, ніж існування надкомпактного кардинального числа, але за умови, що обидва існують.

Джерела інформації

• Drake, F. R. (1974). Set Theory: An Introduction to Large Cardinals (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics ; V. 76). Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2. 
• Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. ISBN 3-540-44085-2. 
• Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (вид. 2nd). Springer. ISBN 3-540-00384-3. 
• Kanamori, Akihiro; Magidor, M. (1978), «The evolution of large cardinal axioms in set theory», Higher Set Theory, Lecture Notes in Mathematics, 669 (typescript), Springer Berlin / Heidelberg, pp. 99–275, doi:10.1007/BFb0103104, ISBN 978-3-540-08926-1 
• Maddy Penelope Believing the Axioms, I // Journal of Symbolic Logic. — Т. 53. — (1988) (2) С. 481–511. DOI:10.2307/2274520.
• Maddy Penelope Believing the Axioms, II // Journal of Symbolic Logic. — Т. 53. — (1988) (3) С. 736–764. DOI:10.2307/2274569.
• Шаблон:Cite arxiv
• Solovay Robert M., William N. Reinhardt, and Akihiro Kanamori Strong axioms of infinity and elementary embeddings // Annals of Mathematical Logic. — Т. 13. — (1978) (1) С. 73–116. DOI:10.1016/0003-4843(78)90031-1.
• Woodin W.Hugh The continuum hypothesis, part II // Notices of the American Mathematical Society. — Т. 48. — (2001) (7) С. 681–690.