Верхня множина

Верхня множина (замкнена вверх множина) — підмножина $~Y$ частково впорядкованої множини $(P,\le)$, яка задовольняє умову:

$\forall x \in Y, y \in P: \quad x \le y \Rightarrow y \in Y.$

Двоїстим поняттям є — нижня множина.

Властивості

Булеан множини $\{1,2,3,4\}.$ верхня множина $\uparrow\{1\}$ позначена зеленим. Вона є простим фільтром.

• Перетин верхніх множин є верхньою множиною.
• Доповнення верхньої множини є нижньою множиною і навпаки.
• Сімейство всіх нижніх множин (верхніх множин) впорядкованих за включенням утворює повну ґратку.
• Найменша верхня множина підмножини Y позначається ↑Y.

Див. також

• Нижня множина
• Антиланцюг
• Ідеал (порядок)
• Фільтр (порядок)

Джерела

• Биркгоф Г. (1984). Теория решёток. Москва: Наука. с. 568.