Верхня та нижня межа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Точна верхня межа (верхня грань) і точна нижня межа (нижня грань) — узагальнення понять максимуму та мінімуму відповідно.

Використовувані визначення[ред.ред. код]

Мажоранта чи верхня межа множини ~X — число ~a, таке що \forall x\in X \Rightarrow x\leqslant a.

Міноранта чи нижня межа множини ~X — число ~b, таке що \forall x\in X \Rightarrow x\geqslant b.

Визначення[ред.ред. код]

Точною верхньою границею, чи супремумом (лат. supremum — найвищий) підмножини X упорядкованої множини M, називається найменший елемент M, котрий дорівнює чи більший за всі елементи множини X. Іншими словами, супремум — це найменша з усіх верхніх границь. Позначається \sup X.

Більш формально:

S_X=\{y\in M\mid\forall x\in X\!:x\leqslant y\}\! — множина верхніх границь X, тобто елементів M, рівних чи більших за всі елементи X
s=\sup(X)\iff s\in S_X\and\forall y\in S_X\!:s\leqslant y.

Точною нижньою границею, чи інфімумом (лат. infimum — найнижчий) підмножини X впорядкованої множини M, називається найбільший елемент M, котрий дорівнює чи менший за всі елементи множини X. Іншими словами, інфімум — це найбільша з усіх нижніх граней. Позначається \inf X.

Зауваження[ред.ред. код]

Ці визначення нічого не говорять про те, чи належить \sup X й \inf X множині X чи ні.

У випадку s=\sup X\in X, говорять, що s є максимумом (найбільшим елементом) X, позначається s=\max_{x \in X} x.

У випадку i=\inf X\in X, говорять, що i є мінімумом (найменшим елементом) X, позначається i=\min_{x \in X} x.

Див. Найбільший та найменший елемент.

Приклади[ред.ред. код]

  • На множині всіх раціональних чисел, більших п'яти, не існує мінімуму, проте існує інфінум. \inf такої множини дорівнює п'яти. Інфінум не є мінімумом, так як п'ять не належить цій множині. Якщо ж визначити множину всіх натуральних чисел, більших п'яти, то у такої множини є мінімум і він дорівнює шести. Взагалі кажучи, у будь-якої непорожньої підмножини множини натуральних чисел існує мінімум.
  • Для множини S=\left\{\frac{1}{k}\mid k\in\N\right\}=\left\{1,\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{3},\;\ldots\right\}
\sup S=1; \inf S=0.
  • Множина додатних раціональних чисел \Q_+=\{x\in\Q \mid x>0\} не має точної верхньої границі в \Q, точна нижня границя \inf\Q_+=0.
  • Множина X=\{x\in\Q\mid x^2<2\} раціональних чисел, квадрат котрих менше двох, не має точної верхньої та нижньої границі в \Q, але якщо його розглядати як підмножину множини дійсних чисел, то
\sup X=\sqrt{2} та \inf X=-\sqrt{2}.

Теорема про границі[ред.ред. код]

Формулювання: Непорожня множина, обмежена зверху, має верхню границю; обмежена знизу - нижню границю. Тобто існує a та b такі, що

b = \sup X \begin{cases}
  \forall x \in X \Rightarrow x\leqslant b  \\
  \forall b^', b^' < b \Rightarrow \exists x \in X \and x >  b^'  
\end{cases}  (1.1)
a = \inf X \begin{cases}
  \forall x \in X \Rightarrow x\geqslant a\\
  \forall a^', a^' > a \Rightarrow \exists x \in X \and x <  a^'
\end{cases}  (1.2)

Властивості[ред.ред. код]

  • По теоремі про границі, для будь-якої обмеженої зверху підмножини \R, існує \sup.
  • По теоремі про границі, для будь-якої обмеженої знизу підмножини \R, існує \inf.
  • Дійсне число s є \sup X тоді й тільки тоді, коли:
    1. s є верхня границя X тобто для всіх елементів x\in X, x\leqslant s;
    2. Для будь-якого \varepsilon>0 знайдеться x\in X, такий, що x+\varepsilon > s.(тобто до s можно скільки завгодно «близько підібратися» з множини X)
  • Аналогічне твердження вірне для точної нижньої грані.

Дивись також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]