Вершинне покриття

Вершинне покриття графа  — це множина вершин така, що кожне ребро графа інцидентне хоча б одній вершині цієї множини. Задача знаходження найменшого вершинного покриття є класичною задачею оптимізації в інформатиці і типовим прикладом NP-складної задачі оптимізації, для якої відомий апроксимаційний алгоритм. Її версія у вигляді проблеми вибору, задача вершинного покриття, була однією з 21 NP-повної задачі Карпа і, отже, класичною NP-повною задачею в теорії складності обчислень.

Задачу найменшого вершинного покриття можна сформулювати як напівцілочисельну задачу лінійного програмування чия дуальна лінійна програма є задача найбільшого парування.

Означення

Формально, вершинне покриття неорієнтованого графа $G=(V,E)$ це підмножина V′ множини вершин V така, що для кожного ребра (u, v) графа G або u у V′, або v у V′, або обидві вершини. Кажуть, що множина V′ «покриває» ребра G. Наступні зображення показують приклади вершинних покриттів в двох графах (і множина V′ позначена червоним).

Найменше вершинне покриття це покриття з найменшого можливого розміру. Число вершинного покриття $\tau$ це розмір найменшого такого покриття. Наступні зображення показують приклади найменших вершинних покриттів у наведених вище графах.

Приклади

• Множина всіх вершин є вершинним покриттям.
• Вершини з будь-якого найбільшого парування утворюють вершинне покриття.
• Повний двочастковий граф $K_{m,n}$ має найменше вершинне покриття розміру $\tau (K_{m,n})=\min(m,n)$.

Властивості

• Множина вершин є вершинним покриттям тоді і тільки тоді, якщо його доповнення є незалежною множиною.
• Тому, кількість вершин у графі дорівнює кількості вершин у його найменшому вершинному покриттю плюс найбільшій незалежній множині.

Обчислювальна задача

Задача найменшого вершинного покриття це задача оптимізації щодо знаходження найменшого вершинного покриття певного графа.

ПРИМІРНИК: Граф $G$

ВИХІД: Найменше число $k$ таке, що $G$ має вершинне покриття розміру $k$.

Якщо задача сформульована як проблема вибору, її називають задача вершинного покриття:

ПРИМІРНИК: Граф $G$ і додатне ціле число $k$.

ПИТАННЯ: Чи має $G$ вершинне покриття розміру не більше $k?$

Задача вершинного покриття — це NP-повна задача: вона була серед задач Карпа. В теорії складності обчислень часто використовується як відправна точка для доведення NP-складності.

Формулювання у термінах ЦЛП

Припустимо, що кожна вершина має пов'язану вартість $c(v)\geq 0.$ Задачу найменшого зваженого вершинного покриття можна сформулювати як таку цілочисельну програму (ЦЛП).

мінімізувати	$\sum _{v\in V}c(v)x_{v}$			(мінімізувати підсумкову вартість)
за умов	$x_{u}+x_{v}\geq 1$	для всіх $\{u,v\}\in E$		(покрити кожне ребро графа)
	$x_{v}\in \{0,1\}$	для всіх $v\in V$.		(кожна вершина або належить до вершинного покриття, або ні)

ЦЛП належить до загальнішого класу ЦЛП задач покриття.

Апроксимаційний алгоритм

Незважаючи на те, що ми не знаємо як знайти оптимальне/найменше вершинне покриття у графі $G$ за поліноміальний час, ми можемо ефективно знайти вершинне покриття, яке буде близьким до оптимального. Наведемо алгоритм, який повертає вершинне покриття гарантовано не більше ніж вдвічі більше за розміром порівняно з оптимальним покриттям.

НАБЛИЖЕНЕ-ВЕРШИННЕ-ПОКРИТТЯ $(G)$ $C=\emptyset$ $E'=G.E$ поки $E'\neq 0$  нехай $(u,v)$ буде довільним ребром з $E'$  $C=C\cup \{u,v\}$  видалити з $E'$ кожне ребро інцидентне до $u$ чи $v$ повернути $C$

За умов використання списків суміжності час виконання цього алгоритму $O(V+E).$

Див. також

• Задача про покриття множини
• Реберне покриття

Джерела

• Vazirani, Vijay V. (2001). Approximation Algorithms. Springer-Verlag. ISBN 3-540-65367-8.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Вершинне покриття(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Найменше вершинне покриття(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Число вершинного покриття(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.