Визначник Вронського

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Визначник Вронського (Вронськіан) — визначник, складений із функцій та похідних. Використовується в теорії диференціальних рівнянь.

Для n фукнцій визначник Вронського будується з використанням похідних до n-1 порядку.

 W = \begin{vmatrix} 
f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\
f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots & f_n' (x)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)}(x)& f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x)
\end{vmatrix},

Для лінійно залежних функцій визначник Вронського дорівнює нулю.


Для лінійного диференційного рівняння другого порядку[ред.ред. код]

Для однорідного лінійного диференційного рівняння другого порядку у формі

 y'' + g(x)y' + h(x)y = 0 \,

визначник Вронського, складений із лінійно незалежних розв'язків рівняння визначається функцією g(x).

Нехай  y_1(x) та  y_2 (x) - два лінійно незалежні розв'яки, тобто

 y_1'' + g(x)y_1' + h(x)y_1 = 0 \,
 y_2'' + g(x)y_2' + h(x)y_2 = 0 \,

Домножаючи перше рівняння на  y_2 (x) а друге на  y_1 (x) і віднімаючи отримуємо

 W' +g(x)W = 0 \,

або

 W = C e^{-\int g(x)dx} \, .

Цю властивість можна використати для знаходження другого лінійно незалежного розв'язку рівняння, якщо один вже відомий. Рівняння для другого розв'язку є рівнянням першого, а не другого порядку.

Також з цього видно, що визначник Вронського або ніколи не нуль, або ідентичний нулю.

Приклади[ред.ред. код]

  • Переконаємося, що вронскіан лінійно-залежних функцій 1,x^2,3+2x^2 дорівнює нулю:

W(f_1,f_2,f_3)(x) = 
\begin{vmatrix}
1 & x^2 & 3+2x^2 \\
0 & 2x & 4x \\
0 & 2 & 4
\end{vmatrix}
= 8x-8x = 0,\qquad x\in\mathbb R.
  • Перевіримо тепер лінійну незалежність функцій 1,x,x^3

W(f_1,f_2,f_3)(x) = 
\begin{vmatrix}
1 & x & x^3\\
0 & 1 & 3x^2 \\
0 & 0 & 6x
\end{vmatrix}
= 6x, \qquad x\in\mathbb R.

Є точки, де вронскіан відмінний від нуля (у нашому випадку це будь-яка точка, крім x = 0). Тому на будь-якому проміжку ці функції будуть лінійно незалежними.

  • Наведемо тепер приклад, коли вронскіан всюди дорівнює нулю, але функції все одно лінійно незалежні. Задамо дві функції:
f_1(x)=x^2;\qquad f_2(x) =
\begin{cases}
-x^2, &  x < 0, \\
x^2, &  x \geqslant 0.
\end{cases}

Обидві функції всюди диференційовних (у тому числі в нулі, де похідні обох функцій звертаються в нуль). Переконаємося, що вронскіан всюди нуль.


W(f_1,f_2)(x) = 
\begin{cases}
  \begin{vmatrix}
  x^2 & -x^2 \\
  2x & -2x
  \end{vmatrix}
 = 0, &  \; x < 0, \\[15pt]
  \begin{vmatrix}
  x^2 & x^2 \\
  2x & 2x
  \end{vmatrix}
 = 0, &  \; x \ge 0
\end{cases}

Проте ці функції, очевидно, є лінійно незалежними. Бачимо що рівність вронскіана нулю не тягне за собою лінійної залежності у випадку довільного вибору функцій.

Джерела[ред.ред. код]

Романко В.К. Главы 5 и 6 // Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. — С. 158-164, 174-177. — (Технический университет). — 3000 экз. — ISBN 5-93208-097-3

Посилання[ред.ред. код]