Визначник Вронського

Визначник Вронського (Вронськіан) — визначник, складений із функцій та похідних. Використовується в теорії диференціальних рівнянь.

Для n фукнцій визначник Вронського будується з використанням похідних до n-1 порядку.

$W = \begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\ f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots & f_n' (x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(x)& f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \end{vmatrix},$

Для лінійно залежних функцій визначник Вронського дорівнює нулю.

Для лінійного диференційного рівняння другого порядку

Для однорідного лінійного диференційного рівняння другого порядку у формі

$y'' + g(x)y' + h(x)y = 0 \,$

визначник Вронського, складений із лінійно незалежних розв'язків рівняння визначається функцією g(x).

Нехай $y_1(x)$ та $y_2 (x)$ - два лінійно незалежні розв'яки, тобто

$y_1'' + g(x)y_1' + h(x)y_1 = 0 \,$

$y_2'' + g(x)y_2' + h(x)y_2 = 0 \,$

Домножаючи перше рівняння на $y_2 (x)$ а друге на $y_1 (x)$ і віднімаючи отримуємо

$W' +g(x)W = 0 \,$

або

$W = C e^{-\int g(x)dx} \,$.

Цю властивість можна використати для знаходження другого лінійно незалежного розв'язку рівняння, якщо один вже відомий. Рівняння для другого розв'язку є рівнянням першого, а не другого порядку.

Приклади

• Переконаємося, що вронскіан лінійно-залежних функцій $1,x^2,3+2x^2$ дорівнює нулю:

$W(f_1,f_2,f_3)(x) = \begin{vmatrix} 1 & x^2 & 3+2x^2 \\ 0 & 2x & 4x \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 8x-8x = 0,\qquad x\in\mathbb R.$

• Перевіримо тепер лінійну незалежність функцій $1,x,x^3$

$W(f_1,f_2,f_3)(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & x^3\\ 0 & 1 & 3x^2 \\ 0 & 0 & 6x \end{vmatrix} = 6x, \qquad x\in\mathbb R.$

Є точки, де вронскіан відмінний від нуля (у нашому випадку це будь-яка точка, крім x = 0). Тому на будь-якому проміжку ці функції будуть лінійно незалежними.

• Наведемо тепер приклад, коли вронскіан всюди дорівнює нулю, але функції все одно лінійно незалежні. Задамо дві функції:

$f_1(x)=x^2;\qquad f_2(x) = \begin{cases} -x^2, & x < 0, \\ x^2, & x \geqslant 0. \end{cases}$

Обидві функції всюди диференційовних (у тому числі в нулі, де похідні обох функцій звертаються в нуль). Переконаємося, що вронскіан всюди нуль.

$W(f_1,f_2)(x) = \begin{cases} \begin{vmatrix} x^2 & -x^2 \\ 2x & -2x \end{vmatrix} = 0, & \; x < 0, \\[15pt] \begin{vmatrix} x^2 & x^2 \\ 2x & 2x \end{vmatrix} = 0, & \; x \ge 0 \end{cases}$

Проте ці функції, очевидно, є лінійно незалежними. Бачимо що рівність вронскіана нулю не тягне за собою лінійної залежності у випадку довільного вибору функцій.

Джерела

Романко В.К. Главы 5 и 6 // Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. — С. 158-164, 174-177. — (Технический университет). — 3000 экз. — ISBN 5-93208-097-3

Посилання

• http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=2164
• http://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/wronskian.aspx
• http://mathworld.wolfram.com/Wronskian.html