Визначник Грама

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Визначник Грама системи векторів e1, e2, ..., en в евклідовому просторі називається визначник матриці Грама цієї системи:

\begin{vmatrix} 
\langle e_1, e_1\rangle & \langle e_1, e_2\rangle & \ldots & \langle e_1, e_n\rangle \\ 
\langle e_2, e_1\rangle & \langle e_2, e_2\rangle & \ldots & \langle e_2, e_n\rangle \\ 
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 
\langle e_n, e_1\rangle & \langle e_n, e_2\rangle & \ldots & \langle e_n, e_n\rangle \\ 
\end{vmatrix}

де \langle e_i, e_j\rangleскалярний добуток векторів ei та ej.

Матриця Грама виникає з наступної задачі лінійної алгебри:

нехай в евклідовому просторі V система векторів e1, e2, ..., en породжує підпростір U. Знаючи, чому дорівнюють скалярні добутки вектораx з U з кожним з цих векторів, знайти коефіцієнти розкладення вектора x по векторам e1, e2, ..., en.
Виходячи з розкладення x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen отримаємо систему лінійних рівнянь з матрицею Грама:

\begin{cases}
\langle \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1\rangle x_1 + \langle \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\rangle x_2 + \dots + \langle \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_n\rangle x_n = \langle \mathbf{e}_1,\mathbf{x}\rangle\\
\langle \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_1\rangle x_1 + \langle \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_2\rangle x_2 + \dots + \langle \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_n\rangle x_n = \langle \mathbf{e}_2,\mathbf{x}\rangle\\
\quad\dots\quad\dots\quad\dots\quad\dots\quad\dots\quad\dots\quad\dots\quad\dots\quad\dots\quad\\
\langle \mathbf{e}_n, \mathbf{e}_1\rangle x_1 + \langle \mathbf{e}_n, \mathbf{e}_2\rangle x_2 + \dots + \langle \mathbf{e}_n, \mathbf{e}_n\rangle x_n = \langle \mathbf{e}_n,\mathbf{x}\rangle\\
\end{cases}

Ця задача має єдиний розв'язок тоді і тільки тоді, коли вектори e1, e2, ..., en лінійно незалежні. Через це рівність нулю визначника Грама системи векторів — критерій їх лінійної залежності.

Геометрична інтерпретація визначника Грама[ред.ред. код]

Визначник Грама системи векторів дорівнює квадрату об'єму паралелограма натягнутого на ці вектори.

Джерела[ред.ред. код]