Вимірна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Вимірні функції  — певний клас функцій заданих на множинах з мірою. Широко використовуються в теорії міри і теорії ймовірностей.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай (X,\mathcal{F}) і (Y,\mathcal{G}) дві множини з визначеними алгебрами підмножин. Тоді функція f: X\to Y називається \mathcal{F} / \mathcal{G}-вимірною, або просто вимірною, якщо повний прообраз довільної множини із \mathcal{G} належить \mathcal{F}, тобто

\forall B \in \mathcal{G},\; f^{-1}(B) \in \mathcal{F},

де f^{-1}(B) повний прообраз множини B.

Замітка[ред.ред. код]

Дійснозначні вимірні функції[ред.ред. код]

Нехай задана функція f:(X,\mathcal{F}) \to (\R,\mathcal{B}(\R)). Тоді справедливі такі визначення:

  • Функція f вимірна, якщо
\forall c\in \R,\; \{x\in X \mid f(x) \le c\} \in \mathcal{F}.
  • Функція f вимірна, якщо
\forall a,b\in \R, таких що a \le b, маємо \{x\in X \mid f(x) \in |a,b| \} \in \mathcal{F},

де |a,b| позначає довільний інтервал, відкритий, напіввідкритий чи замкнутий.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

  • Нехай (X,\mathcal{F}) = (\R,\mathcal{B}(\R)) і (Y,\mathcal{G}) = (\R,\mathcal{B}(\R)) — дві копії дійсної прямої разом з борелівською σ-алгеброю. Тоді вимірна функція f:  (\R,\mathcal{B}(\R)) \to  (\R,\mathcal{B}(\R)) називається борелівською.
  • Вимірна функція f:(\Omega, \mathcal{F}) \to  (Y,\mathcal{G}), де \Omega — множина елементарних подій, а \mathcal{F} — σ-алгебра випадкових подій, називається випадковим елементом.

Приклади[ред.ред. код]

  • Нехай f:\R \to \Rнеперервна функція. Тоді вона вимірна відносно борелівської σ-алгебри на числовій прямій.
  • Нехай f:(X,\mathcal{F}) \to (\R,\mathcal{B}(\R)), і f(x) = \mathbf{1}_A(x),\;x\in Xіндикатор множини A \not\in \mathcal{F}. Тод функція f не є вимірною.

Властивості вимірних функцій[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]