Вкладення

Вкладення у математиці — це спеціального вигляду відображення одного екземпляру деякої математичної структури у інший екземпляр того ж типу. А саме , вкладення деякого об'єкту $X$ у $Y$ визначається ін'єктивним відображенням, яке зберігає деяку структуру. Що означає «збереження структури», залежить від типу математичної структури, об'єктами котрої є $X$ та $Y$. У термінах теорії категорій відображення, яке «зберігає структуру», називають морфізмом.

Те, що відображення $f: X\to Y$ є вкладенням, часто позначають «стрілкою-парасолькою» таким чином: $f: X\hookrightarrow Y$.

Для заданих $X$ та $Y$ може бути декілька можливих вкладень. У багатьох випадках існує стандартне (або «канонічне») вкладення — наприклад, вкладення натуральних чисел у цілі, цілих - у раціональні, раціональних - у дійсні, а дійсних - у комплексні. У таких випадках зазвичай задають область визначення $X$ з образом $f(X)\subset Y$, таку що $X\subseteq Y$.

Геометрія та топологія

Загальна топологія

Відображення топологічних просторів $f: X\to Y$ називається вкладенням $X$ у $Y$, якщо $f: X\to f(X)\subset Y$ — гомеоморфізм (на $f(X)$ розглядається топологія, індукована з $Y$). Кожне вкладення неперервне і ін'єктивне.

Для простору $X$ існує вкладення $X\to Y$ — топологічний інваріант. Ми можемо розрізняти два простори, якщо один з них можна вкласти у $Y$, а інший - ні.

Диференційна топологія

Нехай$M, N$ — гладкі многовиди та $f: M\to N$ — гладке відображення. Воно називається зануренням, якщодиференціал $df$ відображення $f$ всюди ін'єктивний. Гладке вкладення — це занурення, що є також вкладенням у вищенаведеному сенсі (тобто, гомеоморфізмом на свій образ).

Іншими словами, вкладення діфеоморфне своєму образу, і, зокрема, образ вкладення повинен бути підмноговидом. Занурення у свою чергу є локальним вкладенням (тобто, для кожної точки $x\in M$ існує окіл $U\subset M, x\in U$ такий, що $f: U\to N$ — вкладення).

Алгебра

Теорія кілець

У теорії кілець вкладенням називається ін'єктивний кільцевий гомоморфізм $f \colon A \to B$. Так як $f(A)$ є підкільцем кільця $B$, то вкладення $f$ встановлює ізоморфізм між кільцями $A$ та $f(A)$.