Впорядкована група

Впорядкована група (також частково впорядкована група) в абстрактній алгебрі група G, на якій задано відношення часткового порядку $\geqslant$ таке, що для будь-яких елементів а, b, х, у з G з нерівності $a \geqslant b$ випливає $xay \geqslant xby.$ В залежності від додаткових властивостей відношення часткового порядку розрізняють такі важливі класи впорядкованих груп:

• Лінійно впорядковані групи, для яких відношення $\geqslant$ є відношенням лінійного порядку.
• Ґратково впорядковані групи, для який відношення порядку є ґраткою.
• Спрямовані групи, які задовольняють властивість: $\forall x, y \in G,$ існує такий елемент $z \in G,$ що виконуються нерівності $z \geqslant x,z \geqslant y.$

Додатний конус

Множина $P(G) = \{x \in G | x \geqslant 0 \}$, називається додатним конусом має властивості:

1. $P(G)\cdot P(G) \subseteq P(G)$
2. $P(G) \cap P(G)^{-1} = \{1\}$
3. $x^{-1}P(G)x \subseteq P(G)$

Навпаки, якщо у групі G є множина P, що задовольняє умовам, то G можна перетворити на впорядковану групу взявши, що $y \geqslant x$ тоді і тільки тоді, коли $xy^{-1} \in P.$ Також при цьому $P = P(G).$

Для лінійно впорядкованих груп для додатного конуса додатково справедливим є твердження:

• $P(G) \cup P(G)^{-1} = G.$

Для направлених груп крім перших трьох властивостей також виконується:

• $P(G) \cdot P(G)^{-1} = G.$

Приклади

• адитивна група $(\mathbb{R},+)$ дійсних чисел із звичайним порядком є лінійно впорядкованою групою;
• група $F(X, \mathbb{R})$ функцій визначених на множині X, із значеннями в множині дійсних чисел. На цій множині можна визначити операцію поточкового додавання функцій. Відношення часткового порядку на множині цих функцій можна ввести таким чином: $f \geqslant g$ тоді і тільки тоді коли $f(x) \geqslant g(x), \, \forall x \in X.$
• група $A(M)$ усіх автоморфізмів лінійно упорядковано] множини M себе є впорядкованою групою, якщо за групову операцію взяти суперпозицію відображень, відношення порядку визначити: $\phi \geqslant \psi,$ тоді і тільки тоді, коли $\phi(m) \geqslant \psi(m), \, \forall m \in M.$

Випуклі підгрупи і порядковий гомоморфізм

Якщо H підгрупа групи впорядкованої групи G, то H теж буде підгрупою відносно індукованого відношення часткового порядку. Ця підгрупа називається випуклою, якщо для будь-яких елементів $x,y,z \in G,$ для яких $x \geqslant y \geqslant z$ і $x,z \in H,$ також і $y \in H.$

Гомоморфізм $\phi: G \to H,$ що зберігає порядок у групах називається порядковим гомоморфізмом. Гомоморфізм $\phi: G \to H,$ є порядковим тоді і тільки тоді коли $\phi(P(G))\subseteq P(H).$

Ядром порядкового гомоморфізму впорядкованої групи завжди є випукла нормальна підгрупа.

Див. також

• Частково впорядкована множина

Література

• Кокорин А. И., Копытов В. М., Линейно упорядоченные группы, М., 1972
• Общая алгебра / Под общей редакцией Л.А. Скорнякова — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — Т. 1. — 592 с.
• Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965.