Впорядковане поле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Впорядковане полеалгебраїчне поле, для всіх елементів якого визначено лінійний порядок, узгоджений з операціями поля. Найважливішими прикладами є поля раціональних і дійсних чисел. Термін вперше запропонував Еміль Артін у 1927 році.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай  Fалгебраїчне поле, для його елементів визначено лінійний порядок \leqslant (менше або дорівнює) і виконуються властивості:

  1. Узгодженість із додаванням: якщо  x \leqslant y , то для будь-якогоz:  ~ x + z \leqslant y + z .
  2. Узгодженість із множенням: якщо  ~ 0 \leqslant x і  ~ 0 \leqslant y , то  0 \leqslant xy .

Тоді поле  F із визначеним порядком \leqslant називається впорядкованим полем. Елементи поля більші від нуля називаються додатними, а менші нуля — від'ємними.

Конструктивна побудова порядку[ред.ред. код]

Один із способів визначити в полі F лінійний порядок — виділити в ньому підмножину додатних чисел P, замкнуту щодо додавання і множення і для якої три підмножини  P , нуль і -P не перетинаються і разом утворюють розбиття всього поля.

Нехай таку множину P виділено. Позначимо  P_0 = P \cup \{0 \} (ця множина теж замкнута щодо додавання і множення) і визначимо лінійний порядок у F:

 x \leqslant y , якщо  y - x \in P_0

Всі наведені вище аксіоми порядку тоді виконані.

Деякі властивості[ред.ред. код]

  • Кожен елемент впорядкованого поля відноситься до однієї й лише однієї з трьох категорій: додатні елементи, від'ємні елементи, нуль. Якщо  x додатний, то  -x від'ємний, і навпаки.
  • У будь-якому впорядкованому полі  1 > 0 і квадрат будь-якого ненульового елемента є додатним.
  • Однотипні нерівності можна додавати:
Якщо  x \leqslant y і  x '\leqslant y' , то  ~ x + x '\leqslant y + y' .
  • Нерівності можна множити на додатні елементи:
Якщо  x \leqslant y і  c \geqslant 0 , то  ~ cx \leqslant cy .
  • Характеристика упорядкованого поля завжди дорівнює нулю. Тому скінченне поле не може бути впорядкованим.
  • Поле допускає впорядкування тоді і тільки тоді, коли  -1 не може бути представлена як сума квадратів елементів поля. Поля, що задовольняють цю властивість називаються формально дійсними полями. Зокрема ця властивість показує, що поле комплексних чисел не може бути впорядкованим.
  • Найменшим впорядкованим полем є поле раціональних чисел, яке може бути впорядковано тільки одним способом. Тобто ізоморфне йому раціональне поле міститься як підполе в будь-якому іншому впорядкованому полі. Якщо у полі не існує елемента більшого, ніж всі елементи раціонального поля, поле називається архімедовим.

Підполя і розширення полів[ред.ред. код]

  • Підполе впорядкованого поля успадковує батьківський порядок і, отже, теж є впорядкованим полем.
  • Розширення E впорядкованого поля k називається впорядкованим, якщо E — впорядковане поле, для якого k є впорядкованим підполем. Ця властивість має місце в тому і тільки в тому випадку, коли -1 не може бути подана в вигляді суми елементів виду \lambda x^2,\, де \lambda \in k, \, x \in E, \, 0 \leqslant \lambda.

Впорядковане поле називається дійсно замкнутим, якщо для нього не існує впорядкованих розширень, що не рівні самому полю. Порядок дійсно замкнутого поля завжди є єдиним. Еквівалентними є наступні властивості впорядкованого поля k:

  1. поле k є дійсно замкнутим,
  2. розширення k(i), де i2 = -1 є алгебраїчно замкнутим
  3. кожен додатний елемент з k є квадратом і кожен многочлен непарного степеня над k має корінь у k.

Кожне формально дійсне поле має дійсно замкнуте впорядковане алгебраїчне розширення.

Якщо k — впорядковане поле, то можна дати традиційне визначення фундаментальної послідовності. Сукупність фундаментальних послідовностей при належному ототожненні і визначенні операцій перетворюється на впорядковане розширення поля k. Якщо k — архімедове поле, то це розширення є ізоморфним полю дійсних чисел.

Приклади[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. 2 изд., М.: Наука, 1979, 469 с.
  • Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1968.
  • Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965.