Відкрита множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Відкри́та множина́ — в математичному аналізі, геометрії — це множина, кожна точка якої входить в неї разом з деяким околом. Відкрита множина є фундаментальним поняттям загальної топології.

Евклідовий простір[ред.ред. код]

Підмножина евклідового простору U \subset \mathbb{R}^n називається відкритою, якщо:

\forall x_0 \in U \; \exists \varepsilon > 0: \;\; V_{\varepsilon}(x_0) \subset U, де V_{\varepsilon}(x_0) \equiv \{x \in \mathbb{R}^n: \|x - x_0 \| < \varepsilon \} — ε-окіл точки \ x_0.

Іншими словами, множина є відкритою, якщо кожна її точка є внутрішньою.

Метричний простір[ред.ред. код]

Якщо \ (X,\rho) — деякий метричний простір, і U \subset X. Тоді \ U є відкритою, якщо:

\forall x_0 \in U \; \exists \varepsilon > 0: \;\; V_{\varepsilon}(x_0) \subset U, де V_{\varepsilon}(x_0) \equiv \{x \in X: \rho(x,x_0) < \varepsilon\}ε-окіл точки \ x_0 відносно метрики \ \rho.

Топологічний простір[ред.ред. код]

Якщо (X,\mathcal{T})топологічний простір, де \mathcal{T}топологія, визначена на \ X, то за визначенням топологічного простору будь-яка підмножина U \subset X, що є елементом топології, тобто U \in \mathcal{T}, буде відкритою множиною відносно цієї топології.

Дивись також[ред.ред. код]