Відкрита множина

Відкри́та множина́ — в математичному аналізі, геометрії — це множина, кожна точка якої входить в неї разом з деяким околом. Відкрита множина є фундаментальним поняттям загальної топології.

Евклідовий простір

Підмножина евклідового простору $U \subset \mathbb{R}^n$ називається відкритою, якщо:

$\forall x_0 \in U \; \exists \varepsilon > 0: \;\; V_{\varepsilon}(x_0) \subset U,$ де $V_{\varepsilon}(x_0) \equiv \{x \in \mathbb{R}^n: \|x - x_0 \| < \varepsilon \}$ — ε-окіл точки $\ x_0.$

Іншими словами, множина є відкритою, якщо кожна її точка є внутрішньою.

Метричний простір

Якщо $\ (X,\rho)$ — деякий метричний простір, і $U \subset X$. Тоді $\ U$ є відкритою, якщо:

$\forall x_0 \in U \; \exists \varepsilon > 0: \;\; V_{\varepsilon}(x_0) \subset U$, де $V_{\varepsilon}(x_0) \equiv \{x \in X: \rho(x,x_0) < \varepsilon\}$ — ε-окіл точки $\ x_0$ відносно метрики $\ \rho$.

Топологічний простір

Якщо $(X,\mathcal{T})$ — топологічний простір, де $\mathcal{T}$ — топологія, визначена на $\ X$, то за визначенням топологічного простору будь-яка підмножина $U \subset X$, що є елементом топології, тобто $U \in \mathcal{T}$, буде відкритою множиною відносно цієї топології.

Дивись також

• Замкнута множина