Відстань Гаусдорфа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Відстань Гаусдорфа — відстань, визначена на всіх замкнених обмежених підмножинах метричного простору. Таким чином, відстань Гаусдорфа перетворює множину всіх непорожніх компактних підмножин метричного простору в метричний простір.

Мабуть, перша згадка цієї відстані міститься в книзі Гаусдорфа «Теорія множин», перше видання 1914 року. Двома роками пізніше, та ж відстань описується в книзі Бляшке «Круг і куля», можливо незалежно, тому що не містить посилання на книгу Гаусдорфа.

Означення[ред.ред. код]

Складові обчислення відстані Гаусдорфа між зеленою лінією X і голубою лінією Y

Нехай X і Y дві замкнені обмежені підмножини метричного простору M тоді відстань за Гаусдорфом, d_H(X,\;Y), між X та Y є мінімальне число r таке, що замкнутий r-окіл X містить Y і також замкнутий r-окіл Y містить X.

Іншими словами, якщо |xy| позначає відстань між точками x та y в M то

d_H(X,\;Y)=\max\left\{\sup_{x\in X}\inf_{y\in Y}|xy|,\;\sup_{y\in Y}\inf_{x\in X}|xy|\right\}.

Властивості[ред.ред. код]

Нехай F(M) позначає множину всіх непорожніх компактних підмножин метричного простору M з відстанню Гаусдорфа:

  • Топологія простору F(M) повністю визначається топологією M.
  • (Теорема Бляшке) F(M) компактно тоді і тільки тоді, коли компактно M.
  • F(M) повно тоді і тільки тоді, коли M повне.

Варіації і узагальнення[ред.ред. код]

  • Іноді відстань Гаусдорфа розглядається на множині всіх замкнутих підмножин метричного простору, в цьому випадку відстань між деякими підмножинами може дорівнювати нескінченності.
  • Іноді відстань Гаусдорфа розглядається на множині всіх підмножин метричного простору. У цьому випадку вона є тільки псевдовідстанню і не є відстанню, так як «відстань» між різними підмножинами може дорівнювати нулю.
  • В евклідовій геометрії, часто застосовується відстань Гаусдорфа з точністю до конгруентності. Нехай X та Y дві компактні підмножини евклідового простору, тоді D_H(X,\;Y) визначається як мінімум d_H(I(X),\;Y) за всіма рухами евклідового простору I. Строго кажучи, ця відстань на просторі класів конгруентності компактних підмножин евклідового простору.
  • Відстань Громова-Гаусдорфа аналогічна відстані Гаусдорфа з точністю до конгруентності. Вона перетворює множину (ізометричних класів) компактних метричних просторів в метричний простір.

Література[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]