Відстань Махаланобіса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Відстань Махаланобіса — відстань у евклідовому просторі, що узагальнює поняття евклідової відстані. Визначається формулою:

d(X, Y; S)=\sqrt{(X - Y)^T S^{-1} (X - Y)}.\,

де X, Y — вектори, S — матриця, T — позначає операцію транспонування. Відстань Махаланобіса використовується в багатовимірному статистичному аналізі, зокрема при перевірці гіпотез, класифікації спостережень і в кластерному аналізі. У цих застосуваннях S є коваріаційною матрицею деякого багатовимірного розподілу, що дозволяє визначити відстань між випадковими векторами із цього розподілу із врахуваннями кореляцій між компонентами. У випадку коли S — одинична матриця, відстань Махаланобіса збігається з евклідовою відстанню.

Поняття введено у 1936 році індійським статистиком П. Махаланобісом[1] який, при дослідженні подібності черепів, використовував як відстань між двома нормальними розподілами з математичними сподіваннями \mu_1 і \mu_2 і спільною коваріаційною матрицею \Sigma величину d(\mu_1, \mu_1; \Sigma).

Відстань Махаланобіса між двома вибірками (з розподілів з однаковими коваріаційними матрицями) або між вибіркою і розподілом визначається шляхом заміни відповідних теоретичних моментів вибірковими. Як оцінка відстані Махаланобіса між розподілами застосовується відстань Махаланобіса вибірок з них, а у разі використання лінійної дискримінантної функції — статистика \Phi^{-1}(\alpha) + \Phi^{-1}(\beta)\,, де \alpha — частота правильної класифікації в першій сукупності, \beta — в другій, \Phi — функція нормального розподілу з математичним очікуванням 0 і дисперсією 1.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Mahalanobis, P C (1936). «On the generalised distance in statistics». Proceedings of the National Institute of Sciences of India 2 (1): 49-55. http://ir.isical.ac.in/dspace/handle/1/1268

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Айвазян С. А., Бежаева 3. И., Староверов О. В., Классификация многомерных наблюдений М.1974.
  • Андерсон Т.,Введение в многомерный статистический анализ, пер. с англ. М., 1963;
  • Махаланобиса расстояние, Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 3./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия