Відстань Гаусдорфа

Відстань Гаусдорфа — відстань, визначена на всіх замкнених обмежених підмножинах метричного простору. Таким чином, відстань Гаусдорфа перетворює множину всіх непорожніх компактних підмножин метричного простору в метричний простір.

Мабуть, перша згадка цієї відстані міститься в книзі Гаусдорфа «Теорія множин», перше видання 1914 року. Двома роками пізніше, та ж відстань описується в книзі Бляшке «Коло і куля», можливо незалежно, тому що не містить посилання на книгу Гаусдорфа.

Означення

Складові обчислення відстані Гаусдорфа між зеленою лінією X і голубою лінією Y

Нехай $X$ і $Y$ дві замкнені обмежені підмножини метричного простору $M$ тоді відстань за Гаусдорфом, $d_{H}(X,\;Y)$, між $X$ та $Y$ є найменше число $r$ таке, що замкнутий $r$-окіл $X$ містить $Y$ і також замкнутий $r$-окіл $Y$ містить $X$.

Іншими словами, якщо $|xy|$ позначає відстань між точками $x$ та $y$ в $M$, то

$d_{H}(X,\;Y)=\max \left\{\sup _{x\in X}\inf _{y\in Y}|xy|,\;\sup _{y\in Y}\inf _{x\in X}|xy|\right\}.$

Властивості

Нехай $F(M)$ позначає множину всіх непорожніх компактних підмножин метричного простору $M$ з відстанню Гаусдорфа:

• Топологія простору $F(M)$ повністю визначається топологією $M$.
• (Теорема Бляшке) $F(M)$ компактна тоді і тільки тоді, коли компактний $M$.
• $F(M)$ повна тоді і тільки тоді, коли $M$ повний.

Варіації і узагальнення

• Іноді відстань Гаусдорфа розглядається на множині всіх замкнутих підмножин метричного простору, в цьому випадку відстань між деякими підмножинами може дорівнювати нескінченності.
• Іноді відстань Гаусдорфа розглядається на множині всіх підмножин метричного простору. У цьому випадку вона є тільки псевдовідстанню і не є відстанню, так як «відстань» між різними підмножинами може дорівнювати нулю.
• В евклідовій геометрії, часто застосовується відстань Гаусдорфа з точністю до конгруентності. Нехай $X$ та $Y$ — дві компактні підмножини евклідового простору, тоді $D_{H}(X,\;Y)$ визначається як мінімум $d_{H}(I(X),\;Y)$ за всіма рухами евклідового простору $I$. Строго кажучи, це відстань на просторі класів конгруентності компактних підмножин евклідового простору.
• Відстань Громова — Гаусдорфа аналогічна відстані Гаусдорфа з точністю до конгруентності. Вона перетворює множину (ізометричних класів) компактних метричних просторів у метричний простір.

Примітки

• Бляшке, Круг и шар, М.: Наука, 1967
• Скворцов В. А. Примеры метрических пространств [Архівовано 10 серпня 2011 у Wayback Machine.] // Библиотека «Математическое просвещение» [Архівовано 12 січня 2014 у Wayback Machine.]. — 2001. — Выпуск 9.
• Хаусдорф «Теория множеств»