Від'ємний біноміальний розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Від’ємний біноміальний розподіл в теорії імовірностей — розподіл дискретної випадкової величини, рівної кількості невдач в послідовності випробувань Бернулі з імовірністю успіху p, проведеній до r-го успіху.

Означення[ред.ред. код]

Нехай \{X_i\}_{i=1}^{\infty} — послідовність незалежних випадкових величин з розподілом Бернуллі, тобто

X_i = \left\{
\begin{matrix}
1, & p \\
0, & q \equiv 1-p
\end{matrix} \right.,\; i\in \mathbb{N}.

Побудуємо випадкову величину Y наступним чином. Нехай k+r — номер r-го успіху в цій послідовності. Тоді Y = k. Більш строго, покладемо S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i. Тоді

Y = \inf\{n \mid S_n = r\} - r.

Розподіл випадкової величини Y, визначеної таким чином, називається від’ємним біноміальним. Пишуть: Y \sim \mathrm{NB}(r,p).

Функції ймовірності і розподілу[ред.ред. код]

Функція ймовірностей випадкової величини Y має вигляд:

\mathbb{P}(Y = k) = \binom{k+r-1}{k}\, p^r q^k,\; k=0,1,2,\ldots.

Функція розподілу Y кусково-постійна, і її значення в цілих точках може бути виражене через неповну бета-функцію:

F_Y(k) = I_p( r, k+1 ).

Моменти[ред.ред. код]

Твірна функція моментів від’ємного біноміального розподілу має вигляд:

M_Y(t) = \left(\frac{p}{1 - q e^t}\right)^r,

звідки

\mathbb{E}[Y] = r \frac{q}{p},
Bvn-small.png        Розподіли ймовірності
Одновимірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | біноміальний | геометричний | гіпергеометричний | логарифмічний | від'ємний біноміальний | Пуассона | рівномірний поліноміальний
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненційний | Колмогорова | Коші | Лапласа | Леві | логістичний | логнормальний | нормальний (Гауса) | Парето | рівномірний | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | багатовимірний нормальний