Від'ємний біноміальний розподіл

Від’ємний біноміальний розподіл в теорії імовірностей — розподіл дискретної випадкової величини, рівної кількості невдач в послідовності випробувань Бернулі з імовірністю успіху $p$, проведеній до $r$-го успіху.

Означення

Нехай $\{X_i\}_{i=1}^{\infty}$ — послідовність незалежних випадкових величин з розподілом Бернуллі, тобто

$X_i = \left\{ \begin{matrix} 1, & p \\ 0, & q \equiv 1-p \end{matrix} \right.,\; i\in \mathbb{N}.$

Побудуємо випадкову величину $Y$ наступним чином. Нехай $k+r$ — номер $r$-го успіху в цій послідовності. Тоді $Y = k$. Більш строго, покладемо $S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i$. Тоді

$Y = \inf\{n \mid S_n = r\} - r$.

Розподіл випадкової величини $Y$, визначеної таким чином, називається від’ємним біноміальним. Пишуть: $Y \sim \mathrm{NB}(r,p)$.

Функції ймовірності і розподілу

Функція імовірності випадкової величини $Y$ має вигляд:

$\mathbb{P}(Y = k) = \binom{k+r-1}{k}\, p^r q^k,\; k=0,1,2,\ldots$.

Функція розподілу $Y$ кусково-постійна, і її значення в цілих точках може бути виражене через неповну бета-функцію:

$F_Y(k) = I_p( r, k+1 )$.

Моменти

Твірна функція моментів від’ємного біноміального розподілу має вигляд:

$M_Y(t) = \left(\frac{p}{1 - q e^t}\right)^r$,

звідки

$\mathbb{E}[Y] = r \frac{q}{p}$,