Вінерівський процес

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Вінерівський процес в теорії випадкових процесів — це стохастичний процес з неперервним часом, що математично виражає випадкові блукання. Названий на честь Норберта Вінера. Це один з найбільш відомих процесів Леві (càdlàg стохастичний стаціонарний процес з незалежними приростами) і часто зустрічається в чистій та прикладній математиці, економіці, фінансовій математиці і фізиці.

Вінерівський процес відіграє важливу роль у чистій та прикладній матиматиці. В чистій математиці, вінерівський процес породив вивчення мартингалів з неперервним часом.

Означення[ред.ред. код]

Випадковий процес (\xi_t), t\in[0,+\infty) називається вінерівським, якщо:

  • 1. Цей процес є процесом з незалежними приростами.
  • 2. Для всіх t_1, t_2, s \in [0,+\infty) має місце слідування: t_1<t_2 \rightarrow \mathcal{L}(\xi_{t_2+s}-\xi_{t_1+s})=\mathcal{L}(\xi_{t_2}-\xi_{t_1}) (тобто випадкові величини \xi_{t_2+s}-\xi_{t_1+s} і \xi_{t_2}-\xi_{t_1} однаково розподілені).
  • 3. Для всіх \omega\in\Omega буде \xi_0(\omega)=0 (процес починається в нулі).
  • 4. При h\to 0:
  • M\xi_h=ah+o(h);
  • M\xi_h^2=bh+o(h);
  • M|\xi_h|^3=o(h);
де a\in\mathbb{R}, b>0 — параметри, що визначають процес.

Головна властивість[ред.ред. код]

Якщо (\xi_t), t\in[0,+\infty) — вінерівський процес, то для всіх t\in[0,+\infty] буде \xi_t\simeq N(at,bt) (при фіксації часу випадкова величина \xi_t має нормальний розподіл з параметрами at, bt).

Література[ред.ред. код]

1. С. Карлин. Основы теории случайных процессов. М. — 1971.
2. Леоненко М.М., Мішура Ю.С., Пархоменко В.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовірнісні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. -К.: Інформтехніка, 1995.

Див. також[ред.ред. код]