Гама-розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Функція розподілу

Гама розподіл в теорії ймовірностей — це двопараметрична сім’я абсолютно неперервних розподілів. Він складається з параметрів θ і k. Якщо k - ціле тоді розподіл показує суму k незалежних експоненціально розподілених випадкових величин, кожна з яких приймає значення θ. Якщо параметр $k$ приймає ціле значення, то такий гамма-розподіл також називається розподілом Ерланга.

[ред.] Означення

Нехай розподіл випадкової величини $X$ задається щільністю ймовірності, яка має вигляд

$f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)}, & x \ge 0 \\{{lang-la|}} 0, & x < 0 \end{matrix} \right.,$ де функція

Γ(k)

має вигляд

$\Gamma(k)=\int\limits^\infty_0x^{k-1}e^{-x}dx$
і має наступні властивості:

$\Gamma(k)=(k - 1)\cdot\Gamma(k-1)$ ;
$\Gamma(0{,}5)=\sqrt{\pi}$ ;

константи $k,θ > 0$ . Тоді кажуть, що випадкова величина $X$ має гамма-розподіл з параметрами $k$ і $θ$ . Пишуть $X \thicksim \Gamma(k,\theta)$ .

Зауваження. Деколи використовують іншу пераметризацію сімейства гамма-розподілів. Або вводять третій параметр — зсуву.

[ред.] Моменти

Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини $X$ , яка має гама-розподіл, мають вигляд

$\mathbb{E}[X] = k\theta$ ,

$\mathbb{D}[X] = k\theta^2$ .

[ред.] Властивості гама-розподілу

Якщо $X_1,\ldots, X_n$ — незалежні випадкові величини, такі що $X_i \sim \Gamma(k_i, \theta),\; i = 1,\ldots, n$ , то

$Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \Gamma\left( \sum_{i=1}^n k_i, \theta \right)$ .

Якщо $X \thicksim \Gamma(k,\theta)$ , і $a > 0$ —

довільна константа, то

$aX \thicksim \Gamma( k, a\theta)$ .

Гамма-розподіл нескінченно ділимий.

[ред.] Зв’язок з іншими розподілами

Експоненціальний розподіл є частковим випадком гама-розподілу:

$\Gamma(1,\theta) \equiv \mathrm{Exp}(\theta)$ .

Якщо $X_1,\ldots,X_k$ — незалежні експоненціальні випадкові величини, такі що $X_i \sim \mathrm{Exp}(\theta),\; i = 1,\ldots, k$ , то

$Y = \sum\limits_{i=1}^k X_i \sim \Gamma(k, \theta )$ .

Розподіл хі-квадрат являється частковим випадком гамма-розподілу:

$\Gamma\left(\frac{n}{2},2\right) \equiv \chi^2(n)$ .

Згідно з центральною граничною теоремою,

при великих $k$ гамма-розподіл може бути наближений нормальним розподілом:

$\Gamma(k, \theta) \approx \mathrm{N}(k\theta, k\theta^2)$ при

$k \to \infty$ .

Якщо $X 1, X 2$ — незалежні випадкові величини, таки що

$X_i \sim \Gamma(k_i,1),\; i=1,2$ , то

$\frac{X_1}{X_1+X_2} \sim \mathrm{\Beta}(k_1,k_2)$ .

[ред.] Моделювання гамма-величин

Враховуючи властивість масштабування по параметру θ, що вказана вище, достатньо змоделювати гамма-величину для θ = 1. Перехід до інших значень параметра здійснюється простим множенням.

Використовуючи той факт, що розподіл $Γ(1,1)$ співпадає з експоненціальним розподілом, отримуємо, що якщо U — випадкова величина, рівномірно розподілена на інтервалі (0, 1], то $ln U ˜Γ(1,1)$ .

Тепер, використовуючи властивість k-сумування, :

$\sum_{i=1}^n {-\ln U_i} \sim \Gamma (n, 1),$

де U_i — незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на інтервалі (0, 1].

Залишилось змоделювати гамма-величину для 0 < k < 1 і ще раз застосувати властивість k-сумування.

Нижче наведено алгоритм без доведення. Він є прикладом вибірки з відхиленням

Нехай m дорівнює 1.
Згенеруємо $V 2 m - 1$ и $V 2 m$ — незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на інтервалі (0, 1].
Якщо $V_{2m - 1} \le v_0$ , де $v_0 = \frac e {e + \delta}$ , перейти до кроку 4, інакше до кроку 5.
Покладемо $\xi_m = \left( \frac {V_{2m - 1}} {v_0} \right) ^{\frac 1 \delta}, \ \eta_m = V_{2m} \xi _m^ {\delta - 1}$ . Перейти до кроку 6.
Покладемо $\xi_m = 1 - \ln {\frac {V_{2m - 1} - v_0} {1 - v_0}}, \ \eta_m = V_{2m} e^{-\xi_m}$ .
Якщо $\eta_m > \xi_m^{\delta - 1} e^{-\xi_m}$ , то залишити m

на одиницю и вернутися до кроку 2.

Прийняти $ξ = ξ m$ за реалізацию $Γ(δ,1)$ .

Таким чином :

$\theta \left( \xi - \sum _{i=1} ^{[k]} {\ln U_i} \right) \sim \Gamma (k, \theta),$

де [k] є цілою частиною k, а ξ згенерована по алгоритму, наведеному вище при δ = {k} (дробова частина k); U_i and V_l розподілені як вказано вище і попарно незалежні.

Гама-розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Означення

[ред.] Моменти

[ред.] Властивості гама-розподілу

[ред.] Зв’язок з іншими розподілами

[ред.] Моделювання гамма-величин

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами