Гамма-функція

Гамма-функція на дійсній частині області значень

Гамма-функція мероморфна на всій комплексній площині

Гамма-функція (позначається великою літерою грецького алфавіту — Гамма, Γ) —є одним із способів узагальнення функції факторіала, до дійсних і комплексних чисел, із зсувом її аргумента менше на 1. Даніель Бернуллі вивів цю функцію для n, що є додатнім цілим числом,

$\Gamma (n)=(n-1)!$

Хоча існують і інші подібні розширення, це конкретне визначення є найбільш популярним і вживаним. Гамма-функція визначена для всіх комплексних чисел, окрім не додатних цілих. Для комплексних чисел із додатною дійсною частиною, гамма-функція визначається через збіжний невласний інтеграл:

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx=\int \limits _{0}^{1}{\left(\ln {\frac {1}{x}}\right)^{z-1}\,dx}$

Цю інтегральну функцію за допомогою аналітичного продовження можна розширити для всіх комплексних чисел, крім недодатних цілих (де функція має прості полюси), в результаті чого отримують мероморфну функцію яку називають гамма-функцією. Вона не має нулів, тож взаємна гамма функція 1/Γ(z) є голоморфною функцією. Гамма-функція відповідає перетворенню Мелліна для від'ємної показникової функції:

$\Gamma (z)=\{{\mathcal {M}}e^{-x}\}(z)$

Гамма-функція є складовою різних функцій розподілу імовірностей, тож вона використовується в таких областях як теорія імовірностей і статистика, а також у комбінаториці.

Мотивування

Гамма-функція інтерполює функцію факторіала для не цілих значень.

Гамма функцію можна розглядати як розв'язок такої задачі інтерполяції:

«Необхідно знайти гладку функцію яка сполучає точки (x, y) задані відношенням y = (x − 1)! при додатних цілих значеннях змінної x.»

Графік перших декількох точок факторіалів дозволяє припустити, що така крива можлива, але було б бажано знайти формулу, яка точно описує цю криву, в якій кількість операцій не залежить від розміру x. Просту формулу для факторіалу, x! = 1 × 2 × … × x, не можна застосувати напряму для не цілих значень x оскільки вона є дійсною лише коли x є натуральним числом (тобто, додатним цілим). Просто кажучи, не існує простого рішення для факторіалів; ніякі нескінченні комбінації сумування, добутку, піднесення у степінь, показникових функцій, або логарифмів, які б були здатні виразити функцію  x!; але можна знайти загальну формулу для факторіалів за допомогою таких засобів як інтеграли і границі із диференціального та інтегрального числення. Хорошим рішенням цієї задачі є гамма функція.

Існує багато способів для поширення факторіалу до не цілих значень: через множину окремих точок можна провести нескінченну кількість різних кривих. Гамма-функція є одним із самих корисним вирішенням цієї задачі на практиці, оскільки вона є аналітичною функцією (крім області значень не додатних цілих). Ще однією важливою особливістю цієї функції, це те що вона задовольняє рекурентному співвідношенню, що визначає аналогічну властивість функції факторіалу,

$f(1)=1,$

$f(x+1)=xf(x),$

для x, що дорівнює будь-якому додатному дійсному числу. Це дозволяє множити її із будь-якою періодичною аналітичною функцією, яка матиме значення одиниці для додатних цілих, наприклад така функція як e^{k sin mπx}.

Визначення

Основне визначення

Нотацію Γ(z) ввів Адрієн-Марі Лежандр. Якщо дійсна частина комплексного числа z є додатною (Re(z) > 0), тоді інтеграл

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx$

є абсолютно збіжним, і відомий як інтеграл Ейлера другого роду (інтеграл Ейлера першого роду визначає бета-функцію). Застосувавши інтегрування частинами, можна побачити, що:

${\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }x^{z}e^{-x}\,dx\\[4pt]&={\Big [}-x^{z}e^{-x}{\Big ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }zx^{z-1}e^{-x}\,dx\\[4pt]&=\lim _{x\to \infty }(-x^{z}e^{-x})-(0e^{-0})+z\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx\end{aligned}}$

Визначивши, що $-x^{z}e^{-x}\to 0$ при тому як $x\to \infty ,$

${\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=z\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx\\[6pt]&=z\Gamma (z)\end{aligned}}$

Можемо розрахувати $\Gamma (1){\text{:}}$

${\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }x^{1-1}e^{-x}\,dx\\[6pt]&={\Big [}-e^{-x}{\Big ]}_{0}^{\infty }\\[6pt]&=\lim _{x\to \infty }(-e^{-x})-(-e^{-0})\\[6pt]&=0-(-1)\\[6pt]&=1\end{aligned}}$

Маємо що $\Gamma (1)=1$ і $\Gamma (n+1)=n\Gamma (n),$

$\Gamma (n)=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)=(n-1)!$

для всіх додатних цілих чисел n. Це є прикладом доведення методом математичної індукції.

Альтернативні визначення

Функція $\Gamma (z)$ є неперервним продовженням факторіалу $n!=1,2,...,n,$ визначеного лише для значень $n=1,2,...,$ на усю площину $\mathbb {C}$ комплексної змінної $z=(x,y)=x+iy.$ Функція Ейлера $\Gamma (z)$ може бути визначена однією з нижченаведених формул:

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}dt,\quad \mathrm {Re} \,z=x>0,$

$\Gamma (z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\frac {1}{z+k}}+\int _{1}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}dt,\quad \quad \forall z\neq 0,-1,...$

${\frac {1}{\Gamma (z)}}=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {z(z+1)\cdot \cdot \cdot (z+k-1)}{k!k^{z-1}}}.$

Вона задовільняє наступним співвідношенням:

$\Gamma (z+1)=z\Gamma (z),$

$\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}},$

$2^{2z-1}\Gamma (z)\Gamma (z+{\frac {1}{2}})={\sqrt {\pi }}\Gamma (2z).$

Оскільки $\Gamma (n+1)=n!,$ то $\Gamma (z+1)$ позначається як $z!$ Відповідно до визначення факторіалу, $z!=\Gamma (z+1),\,0!=1.$

Біноміальний коефіцієнт $C_{z}^{n}$ виражається через гама-функцію наступним чином:

$C_{z}^{n}={\frac {\Gamma (n+1)}{n!\Gamma (z-n+1)}}={\frac {z!}{n!(z-n)!}}={\frac {(-1)^{n}\Gamma (n-z)}{n!\Gamma (-z)}}.$

Можна також представити інтеграл через гама-функцію

$B(z,\vartheta )=\int _{0}^{1}t^{z-1}(1-t)^{\vartheta -1}dt,\quad \quad \mathrm {Re} \,\vartheta >0,$

який має назву Бета-функції. Таким чином, $B(z,\vartheta )={\frac {\Gamma (z)\Gamma (\vartheta )}{\Gamma (z+\vartheta )}}.$

Ейлерове визначення як нескінченного добутку

При пошуку наближення для z! для комплексного числа z, виявляється, що простіше спочатку порахувати n! для деякого великого цілого числа n, а потім використати це для апроксимації значення для (n+z)!, після чого використати рекурентне рівняння m! = m (m−1)! у зворотньому порядку n разів, для того, щоб зрештою апроксимувати z!. Крім того, ця апроксимація стає точною для границі із тим як n прямує до нескінченності.

Зокрема, для деякого цілого числа m, буде так, що

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;(n+1)^{m}}{(n+m)!}}=1\,,$

і ми хочемо, щоб та сама формула виконувалася, якщо довільне ціле m буде замінено на довільне комплексне число z

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;(n+1)^{z}}{(n+z)!}}=1\,.$

Помноживши обидві частини на z! отримаємо

${\begin{aligned}z!&=\lim _{n\to \infty }n!{\frac {z!}{(n+z)!}}(n+1)^{z}\\[8pt]&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1\cdots n}{(1+z)\cdots (n+z)}}(n+1)^{z}\\[8pt]&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1\cdots n}{(1+z)\cdots (n+z)}}\left[\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\left(1+{\frac {1}{2}}\right)\cdots \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\right]^{z}\\[8pt]&=\prod _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{1+{\frac {z}{n}}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}\right].\end{aligned}}$

Ця формула із нескінченним добутком є збіжною для всіх комплексних чисел z крім від'ємних цілих, оскільки при спробі використати рекурентне відношення m! = m (m − 1)! в зворотньому порядку до значення m = 0 призведе до ділення на нуль.

Аналогічно і гамма-функція, визначена відповідно до Ейлера як нескінченний добуток буде справедливою для всіх комплексних чисел $z$ за виключенням недодатних цілих:

$\Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}\,.$

При такій конструкції, гамма-функція є унікальною функцією, яка одночасно задовольняє рівнянням $\Gamma (1)=1$, $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$ для всіх комплексних чисел $z$ крім не додатних цілих, і $\lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+z)}{(n-1)!\;n^{z}}}=1$ для всіх комплексних чисел $z$.

Рівняння $\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}$ можна використати для однозначного розширення інтегральної формули для Γ(z) до мероморфної функції, визначеної для всіх комплексних чисел z, крім цілих, що менші або рівні нулю. Саме ця розширена версія як правило називається гамма-функцією.

Визначення Вейєрштрасса

Визначення гамма-функції, яке дав Вейєрштрасс також є дійсним для всіх комплексних чисел z, крім недодатних цілих:

$\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}$

де $\gamma \approx 0.577216$ — Стала Ейлера—Маскероні.

Множина визначення

Інтеграл, яким визначається гама-функція є невласним, і збігається при ${\text{Re }}z>0\!$. Однак, використовуючи рекурентне співвідношення

$\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\,$

її можна продовжити на всю комплексну площину за винятком точок $z=-n\,$, де $n=0,1,2\ldots$ .

Гамма-функція є неперервною функцією з простору неперервних функціоналів Чебишова. Вона є стійкою за Адамаром, виражається за третім законом Лопіталя.

Часткові значення

Особливо важливі часткові значення гама-функції в певних точках

$\Gamma (1)=0!=1\,$ — за означенням.

$\Gamma (2)=1\,$

$\Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}$

$\Gamma (3/2)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$

$\Gamma (n)=(n-1)!\!$ — див. також факторіал.

$\Gamma (n)\,\Gamma (1-n)={\frac {\pi }{\sin {(n\pi )}}}$

$\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)=1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (2n-3)(2n-1){\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n}}}$, де $n\!$ ціле додатне число

Властивості

Загальні

Важливим функціональним рівнянням для гамма-функції є Єйлерова формула відображення

$\Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin {(\pi z)}},\qquad z\not \in \mathbb {Z}$

з якої випливає:

$\Gamma (\varepsilon -n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-\varepsilon )\Gamma (1+\varepsilon )}{\Gamma (n+1-\varepsilon )}},$

і Формула подвоєння Лагранжа

$\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).$

Доведення Єйлерової формули відображення

Оскільки $e^{-t}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {t}{n}}\right)^{n},$ гамма-функцію можна представити як $\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{n}t^{z-1}\left(1-{\frac {t}{n}}\right)^{n}\,dt.$ Проінтегрувавши по частинам $n-1$ разів, отримаємо $\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{nz}}{\frac {n-1}{n(z+1)}}{\frac {n-2}{n(z+2)}}\cdots {\frac {1}{n(z+n-1)}}\int _{0}^{n}t^{z+n-1}\,dt,$ що дорівнює $\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{n}}\prod _{k=0}^{n}(z+k)^{-1}n^{z+n}.$ Це можна переписати наступним чином $\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}}{z}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {k}{z+k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}}{z}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{1+{\frac {z}{k}}}}.$ Потім, використавши функціональне рівняння для гамма-функції, отримаємо $-z\Gamma (-z)\Gamma (z)=\Gamma (1-z)\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{z}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{1-{\frac {z^{2}}{k^{2}}}}}.$ Використавши розкладання у ряд Фур'є, функцію $\cos(ax)$ можна представити наступним чином $\cos(ax)={\frac {\sin(\pi a)}{\pi a}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {\sin(\pi (n+a))}{n+a}}+{\frac {\sin(\pi (n-a))}{n-a}}\right)\cos(nx),$ де $a\not \in \mathbb {Z}$ і $x\in [-\pi ,\pi ]$. Використавши тригонометричні тотожності, цей вираз можна спростити наступним чином: $\cos(ax)={\frac {\sin(\pi a)}{\pi a}}+{\frac {2a\sin(\pi a)}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\cos(nx)}{a^{2}-n^{2}}}.$ Якщо прийняти, що $x=\pi$ і розділити рівняння на $\sin(\pi a)$ отримаємо $\pi \cot(\pi a)={\frac {1}{a}}+2a\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a^{2}-n^{2}}}.$ Тепер виконаємо заміну $a={\frac {m}{\pi }}$, щоб отримати $\cot(m)={\frac {1}{m}}+2m\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}-n^{2}\pi ^{2}}}.$ Проінтегрувавши обидві сторони по інтервалу від $0$ до $z$ і звівши до степеня, отримаємо ${\frac {\sin(z)}{z}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{k^{2}\pi ^{2}}}\right).$ Тоді ${\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{z}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{1-{\frac {z^{2}}{k^{2}}}}}.$ Звідси випливає формула відображення Ейлера: $\Gamma (1-z)\Gamma (z)={\frac {\pi }{\sin(\pi z)}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} .$

Доведення формули множення Лагранжа

Бета-функцію можна представити наступним чином $\mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt.$ Якщо задати $z_{1}=z_{2}=z$ отримаємо ${\frac {\Gamma ^{2}(z)}{\Gamma (2z)}}=\int _{0}^{1}t^{z-1}(1-t)^{z-1}\,dt.$ Виконавши заміну $t={\frac {1+x}{2}}$ отримаємо ${\frac {\Gamma ^{2}(z)}{\Gamma (2z)}}={\frac {1}{2^{2z-1}}}\int _{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{z-1}\,dx.$ Функція $\left(1-x^{2}\right)^{z-1}$ є парною, оскільки $2^{2z-1}\Gamma ^{2}(z)=2\Gamma (2z)\int _{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{z-1}\,dx.$ Тепер припустимо $\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)=\int _{0}^{1}t^{{\frac {1}{2}}-1}(1-t)^{z-1}\,dt,\quad t=s^{2}.$ Тоді $\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)=2\int _{0}^{1}\left(1-s^{2}\right)^{z-1}\,ds=2\int _{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{z-1}\,dx.$ Звідси випливає $2^{2z-1}\Gamma ^{2}(z)=\Gamma (2z)\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right).$ Оскільки $\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma (z)}{\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)}},\quad \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},$ звідси отримаємо формулу подвоєння Лагранжа: $\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).$

Формула подвоєння є особливим випадком теореми про множення Лагранжа(див., Eq. 5.5.6)

$\prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).$

Простою, але корисною властивістю, яка випливає із визначення границі, це:

${\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .$

Зокрема, при z = a + bi, цей добуток дорівнює

${\begin{aligned}|\Gamma (a+bi)|^{2}&=|\Gamma (a)|^{2}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1+{\frac {b^{2}}{(a+k)^{2}}}}}\\[4pt]|\Gamma (bi)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh {(\pi b)}}}\\[6pt]|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh {(\pi b)}}}\end{aligned}}$

Одним із самих відомих значень гамма-функції для нецілого аргумента є:

$\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},$

яке отримують, якщо задати z = 12 у формулах відображення або подвоєння, використавши рівняння для бета функції із x = y = 12, або виконавши заміну u = √x у визначенні інтегралу гамма-функції, із чого в результаті отримають Гаусів інтеграл. У загальному випадку, для невід'ємних цілих чисел n маємо:

${\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!{\sqrt {\pi }}\\[8pt]\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!}}\end{aligned}}$

де n!! позначає подвійний факторіал від n. Коли n = 0, n!! = 1.

Може здаватися, що поглянувши на формулу результат Γ(12) = √π можна узагальнити для інших окремих значень Γ(r) де r є раціональним числом. Однак, ці числа не можна виразити через самих себе в рамках елементарних функцій. Було доведено, що Γ(n + r) є трансцендентним числом і алгебраїчно незалежним від π для будь-якого цілого n і будь-якого дробу із r = 16, 14, 13, 23, 34, 56. У загальному випадку, для розрахунку значень гамма-функції необхідно застосовувати числову апроксимацію.

Іншою корисною границею для асимптотичного наближення є:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbb {C}$

Похідні гамма-функції можна описати за допомогою полігамма-функції. Наприклад:

$\Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z).$

Для додатного цілого числа m похідну гамма-функції можна розрахувати наступним чином (тут γ це Стала Ейлера—Маскероні):

$\Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)\,.$

Для Re(x) > 0 n-а похідна гамма-функції дорівнює:

Похідна функції Γ(z)

${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}(\ln t)^{n}\,dt.$

(Це можна отримати за допомогою диференціювання інтегралу для гамма-функції по змінній x, і використавши інтегральне правило Лейбніца.)

Використавши рівняння

$\Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}n!\sum \limits _{\pi \,\vdash \,n}\,\prod _{i=1}^{r}{\frac {\zeta ^{*}(a_{i})}{k_{i}!\cdot a_{i}}}\qquad \zeta ^{*}(x):={\begin{cases}\zeta (x)&x\neq 1\\\gamma &x=1\end{cases}}$

де ζ(z) — дзета-функція Рімана, із розбиттям

$\pi =(\underbrace {a_{1},\dots ,a_{1}} _{k_{1}},\dots ,\underbrace {a_{r},\dots ,a_{r}} _{k_{r}}),$

зокрема маємо

$\Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)z-{\tfrac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).$

Нерівності

Якщо обмежитися додатними цілими числами, гамма-функція є суворо логарифмічно опуклою функцією. Цю властивість можна визначити за допомогою трьох наведених еквівалентних нерівностей:

• Для будь-яких двох додатних дійсних чисел x₁ і x₂, і для будь-якого t ∈ [0, 1],

$\Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.$

Крім того, ця нерівність буде точною для t ∈ (0, 1).

• Для будь-яких двох додатних дійсних чисел x і y при y > x,

$\left({\frac {\Gamma (y)}{\Gamma (x)}}\right)^{\frac {1}{y-x}}>\exp \left({\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}\right).$

• Для будь-якого додатного дійсного числа x,

$\Gamma ''(x)\Gamma (x)>\Gamma '(x).$

Останні два твердження, випливають із визначення, так само як і твердження, що $\psi ^{(1)}(x)>0$, де $\psi ^{(1)}$ це полігамма-функція порядку 1. Аби довести логарифмічну опуклість гамма-функції достатньо спостерігати, що $\psi ^{(1)}$ має ряд представлень для яких, при додатному дійсному x вона складається лише із додатних термів.

Логарифмічна опуклість і нерівність Єнсена разом означають, що для будь-яких додатних дійсних чисел $x_{1},\ldots ,x_{n}$ and $a_{1},\ldots ,a_{n}$,

$\Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.$

Існують також обмеження відношення гамма-функцій. Найвідомішим є Нерівність Гаутсі, яка стверджує, що для будь-якого додатного цілого числа x і будь-якогоs ∈ (0, 1),

$x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<(x+1)^{1-s}.$

Формула Стірлінґа

Представлення гамма-функції у комплексній площині. Кожна точка $z$ забарвлена відповідно до значення аргумента $\Gamma (z)$. Також показано контурний графік для модуля $|\Gamma (z)|$.

3-вимірний графік абсолютних значень комплексної гамма-функції

Поведінка функції $\Gamma (z)$ для зростаючих цілих значень змінної є простою: вона зростає досить швидко — швидше за показникову функцію. Асимптотично при $z\to \infty$, величина гамма-функції задається за допомогою формули Стірлінґа

$\Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},$

де символ $\sim$ задає відношення з яким обидві сторони збігаються до 1 або асимптотично сходяться.

Наближення

Порівняння гамма-функціх (синя лінія) із факторіалом (сині точки) і наближення Стірлінга (червона лінія)

Комплексні значення гамма-функції можна обчислити чисельним способом із довільною точністю використовуючи формулу Стірлінга або наближення Ланцоса.

Гамма-функцію можна обрахувати із сталою точністю для Re(z) ∈ [1,2] застосувавши до інтеграла Ейлера метод інтегрування частинами. Для будь-якого додатнього числа x гамма-функцію можна записати як

${\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}\\&=x^{z}e^{-x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{z(z+1)\cdots (z+n)}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}.\end{aligned}}$

Коли Re(z) ∈ [1,2] і x ≥ 1, абсолютне значення останнього інтегралу є меншим за (x + 1)e^−x. Якщо вибрати достатньо велике x, цей вираз може бути меншим за 2^−N для будь-якого бажаного значення N. Тож, за допомогою вищевказаного ряду гамма-функцію можна обрахувати до N бітів точності.

Швидкий алгоритм для розрахунку Ейлерової гамма-функції для будь-якого алгебраїчного аргументу (в тому числі раціонального) Е. А. Карацуба,

Для аргументів, які є цілими кратними для 124, гамма-функцію також можна швидко розрахувати використавши ітерації для середнього арифметико-геометричного.

Застосування для формули Стірлінга

Наступний розклад в ряд гамма-функції для великих цілих $x\!$ дає асимптотичний вираз для формули Стірлінга, що використовується для обчислення факторіалу цілого числа.

$\Gamma (n+1)=n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+O\left(n^{-5}\right)\right)$

Історія

Позначення гама-функції ввів у обіг Лежандр.

Див. також

• Полігамма-функція
• Бета-функція
• Невласний інтеграл
• Інтеграл Рімана
• Інтегральне числення
• Бор-Молерупова теорема
• Неповна гамма-функція
• Сума Гаусса

Джерела

• Підкуйко, Сергій (2004). Математичний аналіз — Т.1. Множини. Дійсні числа. Границя послідовності. Границя функції. Неперервність функції. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Львів: Галицька видавнича спілка. с. 530. ISBN 966-7893-26-Х. {{cite book}}: Перевірте значення |isbn=: недійсний символ (довідка)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)