Гармонічна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Функція f : U \to \R визначена на U \subset \R^n називається гармонічною в цій області, якщо f є двічі неперервно диференційовною і є розв’язком рівняння Лапласа:

\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0.

Для позначення цього використовуються позначення \textstyle \Delta f = 0 або \nabla^2 f = 0.

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо D — скінченна область і гармонічна функція f \in C^1(\bar D) тоді:
 \int_{S}\frac{\partial f}{\partial \nu}\, d\sigma = 0.
  • Теорема про середнє значення: якщо f(x) — гармонічна функція у кулі B(x,r) радіуса r з центром x<sub>0</sub> і f \in C^1(\bar B) то її значення в центрі кулі дорівнює середньому арифметичному її значень на сфері S(x0,r), тобто
u(x) = \frac{1}{n\omega_n r^{n-1}}\int_{\partial B(x,r)} u\, d\sigma = \frac{1}{\omega_n r^n}\int_{B (x,r)} u\, dy
де \omega_n — об'єм одиничної кулі в \R^n.
У припущенні неперервності f(x) ця властивість може бути прийнята як визначення гармонічної функції.
  • Принцип екстремуму: якщо D — область в \R^n, що не містить усередині точки \infty, f(x) — гармонічна функція у D, f(x)  \neq const, то ні в якій точці x_0 \in D функція f(x) не може досягати локального екстремуму, тобто в будь-якому околі V(x0) кожної точки x_0 \in D знайдеться точка x^* \in V(x_0), у якій f(x^*) > f (x_0), і знайдеться точка x^* \in V(x_0), у якій f(x^*) < f (x_0).
Якщо, крім того, і x \in C(\bar D), то найбільше і найменше значення f(x) в замкнутій області \bar D досягаються тільки в точках границі \partial D. Відповідно, якщо |f(x)| \leq M на \partial D, то |f(x)| \leq M на всій множині \bar D.
  • Якщо f(x) — гармонічна функція у всьому просторі \R^n,\, n \geq 2 обмежена зверху або знизу, то f(x)= const.(Теорема Ліувіля)
  • Властивість єдиності: якщо f(x) — гармонічна функція у області D \subset \R^n і f(x) \equiv 0 в деякому n-вимірному околі довільної точки x_0 \in D то f(x) \equiv 0 в D.
Якщо f(x) — аналітична функція дійсних змінних у області D \subset \R^n і якщо в деякому n-вимірному околі точки x_0 \in D функція f(x) є гармонічною то вона є гармонічною в усій області D.
  • Принцип симетрії: Нехай границя \partial D області D \subset \R^n містить відкриту в площині xn=0 множину G, і f(x) — гармонічна функція у D і f(x) = 0 і неперервна усюди на G. Якщо \hat D — область, симетрична з D відносно гіперплощини xn=0 тоді f(x) гармонійно продовжується в область D \cup G \cup \hat D за формулою:
f(x_1,\ldots,x_{n-1},x_n) = - f(x_1,\ldots,x_{n-1},- x_n), \quad (x_1,\ldots,x_{n-1},x_n) \in \hat D.
  • Перша теорема Гарнака: якщо послідовність \{ f_n(x)\} гармонічних функцій у обмеженій області D, неперервних в замкнутій області \bar D, є рівномірно збіжною на границі \partial D, то вона є рівномірно збіжною у D, причому гранична функція f(x)= \lim_{n \to \infty} f_n(x) є гармонічною функцією у D.
  • Друга теорема Гарнака: якщо послідовність \{ f_n(x)\} гармонічних функцій в області D, є монотонною і збігається принаймні в одній точці x_0 \in D, то вона збігається усюди в D і гранична функція f(x)= \lim_{n \to \infty} f_n(x) є гармонічною.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
  • Перестюк М.О., Маринець В.В. Теорія рівнянь математичної фізики: Навч. посібник. (Zip) – К.: Либідь, 2001. – 336 с.
  • Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.— Л., 1950;
  • Тиман А. Ф., Трофимов В. Н., Введение в теорию гармонических функций, М., 1968;
  • Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey. Harmonic Function Theory Springer, ISBN 978-0-387-95218-5