Гармонічна функція

Функція $f : U \to \R$ визначена на $U \subset \R^n$ називається гармонічною в цій області, якщо f є двічі неперервно диференційовною і є розв’язком рівняння Лапласа:

$\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0.$

Для позначення цього використовуються позначення $\textstyle \Delta f = 0$ або $\nabla^2 f = 0.$

Властивості

• Якщо D — скінченна область і гармонічна функція $f \in C^1(\bar D)$ тоді:

$\int_{S}\frac{\partial f}{\partial \nu}\, d\sigma = 0.$

• Теорема про середнє значення: якщо f(x) — гармонічна функція у кулі B(x,r) радіуса r з центром $x₀$ і $f \in C^1(\bar B)$ то її значення в центрі кулі дорівнює середньому арифметичному її значень на сфері S(x₀,r), тобто

$u(x) = \frac{1}{n\omega_n r^{n-1}}\int_{\partial B(x,r)} u\, d\sigma = \frac{1}{\omega_n r^n}\int_{B (x,r)} u\, dy$

де $\omega_n$ — об'єм одиничної кулі в $\R^n$.

У припущенні неперервності f(x) ця властивість може бути прийнята як визначення гармонічної функції.

• Принцип екстремуму: якщо D — область в $\R^n$, що не містить усередині точки $\infty,$ f(x) — гармонічна функція у D, $f(x) \neq const$, то ні в якій точці $x_0 \in D$ функція f(x) не може досягати локального екстремуму, тобто в будь-якому околі V(x₀) кожної точки $x_0 \in D$ знайдеться точка $x^* \in V(x_0)$, у якій $f(x^*) > f (x_0)$, і знайдеться точка $x^* \in V(x_0)$, у якій $f(x^*) < f (x_0).$

Якщо, крім того, і $x \in C(\bar D)$, то найбільше і найменше значення f(x) в замкнутій області $\bar D$ досягаються тільки в точках границі $\partial D$. Відповідно, якщо $|f(x)| \leq M$ на $\partial D$, то $|f(x)| \leq M$ на всій множині $\bar D$.

• Якщо f(x) — гармонічна функція у всьому просторі $\R^n,\, n \geq$ 2 обмежена зверху або знизу, то f(x)= const.(Теорема Ліувіля)

• Якщо f(x) — гармонічна функція у околі точки $x_0 = ((x_1)_0, \ldots, (x_n)_0),$ то f(x) розкладається в цьому околі у степеневий ряд за змінними $x_1 - (x_1)_0, \ldots, x_n - (x_n)_0,$ тобто довільна гармонічна функція є аналітичною функцією і має часткові похідні всіх порядків, які в свою чергу є гармонічними функціями.

• Властивість єдиності: якщо f(x) — гармонічна функція у області $D \subset \R^n$ і f(x) \equiv 0 в деякому n-вимірному околі довільної точки $x_0 \in D$ то $f(x) \equiv 0$ в D.

Якщо f(x) — аналітична функція дійсних змінних у області $D \subset \R^n$ і якщо в деякому n-вимірному околі точки $x_0 \in D$ функція f(x) є гармонічною то вона є гармонічною в усій області D.

• Принцип симетрії: Нехай границя $\partial D$ області $D \subset \R^n$ містить відкриту в площині x_n=0 множину G, і f(x) — гармонічна функція у D і f(x) = 0 і неперервна усюди на G. Якщо $\hat D$ — область, симетрична з D відносно гіперплощини x_n=0 тоді f(x) гармонійно продовжується в область $D \cup G \cup \hat D$ за формулою:

$f(x_1,\ldots,x_{n-1},x_n) = - f(x_1,\ldots,x_{n-1},- x_n), \quad (x_1,\ldots,x_{n-1},x_n) \in \hat D.$

• Перша теорема Гарнака: якщо послідовність $\{ f_n(x)\}$ гармонічних функцій у обмеженій області D, неперервних в замкнутій області $\bar D$, є рівномірно збіжною на границі $\partial D$, то вона є рівномірно збіжною у D, причому гранична функція $f(x)= \lim_{n \to \infty} f_n(x)$ є гармонічною функцією у D.

• Друга теорема Гарнака: якщо послідовність $\{ f_n(x)\}$ гармонічних функцій в області D, є монотонною і збігається принаймні в одній точці $x_0 \in D$, то вона збігається усюди в D і гранична функція $f(x)= \lim_{n \to \infty} f_n(x)$ є гармонічною.

Див. також

• Рівняння Лапласа
• Голоморфна функція
• Бігармонічна функція

Література

• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
• Перестюк М.О., Маринець В.В. Теорія рівнянь математичної фізики: Навч. посібник. (Zip) – К.: Либідь, 2001. – 336 с.
• Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.— Л., 1950;
• Тиман А. Ф., Трофимов В. Н., Введение в теорию гармонических функций, М., 1968;
• Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey. Harmonic Function Theory Springer, ISBN 978-0-387-95218-5