Гармонічний ряд

В математиці, гармонічним рядом називається нескінченний розбіжний ряд:

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots.\!$

Обчислення

$n$-ною частковою сумою $s_n$ гармонічного ряду називається $n$-не гармонічне число:

$s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{n}$

Деякі значення часткових сум

$\begin{matrix}s_1 &=& 1 \\\\ s_2 &=& \frac{3}{2} &=& 1{,}5 \\\\ s_3 &=& \frac{11}{6} &\approx& 1{,}833 \\\\ s_4 &=& \frac{25}{12} &\approx& 2{,}083\end{matrix}$

$\begin{matrix}s_5 &=& \frac{137}{60} &\approx& 2{,}283 \\\\ s_6 &=& \frac{49}{20} &=& 2{,}45 \\ \\s_7 &=& \frac{363}{140} &\approx& 2{,}593 \\\\ s_8 &=& \frac{761}{280} &\approx& 2{,}718\end{matrix}$

Розбіжність ряду

Гармонічний ряд розбіжний, щоправда розбіжність є дуже повільною (для того, щоб часткова сума перевищила 100, необхідно біля 10⁴³ елементів ряду).

Доведення 1

Розбіжність ряду можна довести погрупувавши доданки так:

$\begin{align} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} & {} = 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right] +\cdots \\ & {} > 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right] +\cdots \\ & {} = 1 + \ \frac{1}{2}\ \ \ + \quad \frac{1}{2} \ \quad + \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac{1}{2} \ \quad + \ \cdots. \end{align}$

Останній ряд, очевидно, розбіжний, що доводить твердження.

Доведення 2

Припустимо, що гармонічний ряд збіжний і його сума рівна $~S$:

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots=S$

Тоді перегрупувавши доданки одержимо:

$S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\cdots\right)$

Винесемо із других дужок $\tfrac{1}{2}$:

$S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)+\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots\right)$

Замінимо вираз в других дужках на $~S$:

$S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)+\frac{1}{2}S$

Перенесемо $\tfrac{1}{2}S$ в ліву частину:

$\frac{1}{2}S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)$

Замінивши $~S$ сумою ряду одержимо:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\cdots= 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots$

Ця рівність невірна оскільки одиниця більша однієї другої, одна третя більше однієї четвертої, і так далі. Таким чином припущення про збіжність ряду привело до суперечності.

Доведення 3

На початок запишемо суму геометричної прогресії:

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ...$

де |x|<1.

Візьмемо інтеграл з обох сторін, внаслідок чого одержимо:

$-\ln(1-x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + ...$

Перейшовши до границі при $x \rightarrow 1$ одержуємо рівність:

$-\lim_{x\to 1} \ln(1-x) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$.

Оскільки $-\lim_{x\to 1} \ln(1-x) = -(-\infty) = \infty$, то також має місце $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty$

Тобто гармонічний ряд є розбіжним.

Література

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-е, стереотипное. — М.: Наука, 1966.