Гармонічний ряд

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, гармонічним рядом називається нескінченний розбіжний ряд:

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots.\!

Обчислення[ред.ред. код]

n-ною частковою сумою  s_n гармонічного ряду називається n-не гармонічне число:

 s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{n}

Деякі значення часткових сум[ред.ред. код]

\begin{matrix}s_1 &=& 1 \\\\ s_2 &=& \frac{3}{2} &=& 1{,}5 \\\\ s_3 &=& \frac{11}{6} &\approx& 1{,}833 \\\\ s_4 &=& \frac{25}{12} &\approx& 2{,}083\end{matrix} \begin{matrix}s_5 &=& \frac{137}{60} &\approx& 2{,}283 \\\\ s_6 &=& \frac{49}{20} &=& 2{,}45 \\ \\s_7 &=& \frac{363}{140} &\approx& 2{,}593 \\\\ s_8 &=& \frac{761}{280} &\approx& 2{,}718\end{matrix}

Розбіжність ряду[ред.ред. код]

Гармонічний ряд розбіжний, щоправда розбіжність є дуже повільною (для того, щоб часткова сума перевищила 100, необхідно біля 1043 елементів ряду).

Доведення 1[ред.ред. код]

Розбіжність ряду можна довести погрупувавши доданки так:


\begin{align}
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} & {} =
1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right] +\cdots \\
& {} > 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] 
+ \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right] +\cdots \\
& {} = 1 + \ \frac{1}{2}\ \ \ + \quad \frac{1}{2} \ \quad + \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac{1}{2} \ \quad + \ \cdots.
\end{align}

Останній ряд, очевидно, розбіжний, що доводить твердження.

Доведення 2[ред.ред. код]

Припустимо, що гармонічний ряд збіжний і його сума рівна ~S:

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots=S

Тоді перегрупувавши доданки одержимо:

S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\cdots\right)

Винесемо із других дужок \tfrac{1}{2}:

S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)+\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots\right)

Замінимо вираз в других дужках на ~S:

S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)+\frac{1}{2}S

Перенесемо \tfrac{1}{2}S в ліву частину:

\frac{1}{2}S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)

Замінивши ~S сумою ряду одержимо:

\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\cdots= 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots

Ця рівність невірна оскільки одиниця більша однієї другої, одна третя більше однієї четвертої, і так далі. Таким чином припущення про збіжність ряду привело до суперечності.

Доведення 3[ред.ред. код]

На початок запишемо суму геометричної прогресії:

\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ...

де |x|<1.

Візьмемо інтеграл з обох сторін, внаслідок чого одержимо:

-\ln(1-x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + ...

Перейшовши до границі при  x \rightarrow 1 одержуємо рівність:

-\lim_{x\to 1} \ln(1-x) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} .

Оскільки  -\lim_{x\to 1} \ln(1-x) = -(-\infty) = \infty , то також має місце  \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty

Тобто гармонічний ряд є розбіжним.

Література[ред.ред. код]

  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-е, стереотипное. — М.: Наука, 1966.