Генератриса цілочисельної випадкової величини

Дискретну випадкову величину $\xi$ яка приймає значення з множини $Z^+ = \{0,1,\ldots \}$ будемо називати цілочисельною, а її розподіл будемо визначати ймовірностями $p_n = P\{ \xi = n \},\, n \in Z^+$, де $\sum_{n=0}^\infty p_n = 1$.

Генератрисою цілочисельної випадкової величини будемо називати функцію

$\Psi_\xi(s) = M s^\xi\ (|s| \leq 1)$,

яка виражається через закон розподілу такою функцією:

$\Psi_\xi(s) = \sum_{n=0}^\infty p_n s^n$,

яка очевидно збігається при $|s| \leq 1$.

Застосування в теорії ймовірностей

Якщо $\xi$ — додатня цілочисленна випадкова величина, то її математичне сподівання може бути виражене через генератрису як значення першої похідної в одиниці: $M[X] = \Psi'(1)$.

Дійсно,

$\Psi'(s)=\sum_{n=1}^\infty n p_n s^{n-1}$.

При підстановці $s=1$ отримаємо величину $\Psi'(1)=\sum_{n=1}^\infty{n p_n}$, яка за визначенням є математичним сподіванням дискретної випадкової величини.

Якщо цей ряд розбігається, то$\lim_{s\to 1}P'(s)=\infty$ -- а $X$ має нескінченне математичне очікування, $P'(1)=M[X]=\infty$

• Тепер візьмемо твірну функцію $Q(s)$ послідовності «хвостів» розподілу $\{q_k\}$

$q_k=\mathbb{P}(X>j)=\sum_{j=k+1}^\infty{p_j};\quad Q(s)=\sum_{k=0}^\infty\;q_k s^k.$

Ця твірна функція пов'язана з визначеною раніше функцією $P(s)$ властивістю: $Q(s)=\frac{1-P(s)}{1-s}$ при $|s|<1$. З цього з теореми про середнє випливає, що математичне очікування рівне просто значенню цієї функції в одиниці:

$M[X]=P'(1)=Q(1)$

• Диференціюючи $P'(s)=\sum_{k=1}^\infty{k p_k s^{k-1}}$ і використовуючи співвідношення $P'(s)=Q(s)-(1-s)Q'(s)$, отримаємо:

$M[X(X-1)]=\sum{k(k-1)p_k}=P''(1)=2Q'(1)$

Для того, щоб отримати дисперсію $D[X]$, до цього виразу треба додати $M[X]-M^2[X]$, що приводить до наступних формул для обчислення дисперсії:

$D[X]=P''(1)+P'(1)-P'^2(1)=2Q'(1)+Q(1)-Q^2(1)$.

В випадку нескінченної дисперсії $\lim_{s\to 1}P''(s)=\infty$.