Геодезична лінія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Геодези́чна лі́нія — крива на гладкому многовиді, головна нормаль якої ортогональна до многовиду. Геодезична є узагальненням поняття прямої на викривлені простори: це лінія, яка для двох близько розташованих точок буде найкоротшою.

Зокрема геодезичними лініями будуть:

У метричних просторах поняття геодезичної лінії узагальнюється поняттям квазігеодезичної лінії.

Властивості кривої на многовиді[ред.ред. код]

В охоплюючому многовид евклідовому просторі рівняння кривої задається функцією радіус-вектора \mathbf{r} точки кривої від параметра t кривої: \mathbf{r} = \mathbf{r}(t). Оскільки ця крива також лежить на n-вимірному многовиді, який задається рівнянням: \mathbf{r} = \mathbf{r}(u^1, u^2, ... u^n), то рівняння кривої дається функціями координат многовиду від параметра кривої t:

(1) \qquad u^i = u^i (t) \qquad i = 1, 2, ... n

Вектор кривини кривої є другою похідною від радіус-вектора по натуральному параметру s кривої):

\qquad \mathbf{k} = {d^2 \mathbf{r} \over d s^2}

Одиничний вектор n вздовж вектора кривини \mathbf{k} є головною нормаллю кривої.

Вектор кривини \mathbf{k} можна розкласти на дві частини: паралельну до многовиду й ортогональну до нього.

\qquad \mathbf{k} = \mathbf{k}_{||} + \mathbf{k}_{\bot}

Паралельна частина кривини \mathbf{k}_{||} називається геодезичною кривиною кривої. Згідно з означенням, для геодезичної лінії вона дорівнює нулю.

Обчислимо геодезичну кривину:

(2) \qquad \mathbf{k} = {d^2 \mathbf{r}(u(t)) \over d s^2} = {d \over ds} \left ( \mathbf{r}_i {d u^i \over ds} \right ) = \mathbf{r}_i {d^2 u^i \over d s^2} + \mathbf{r}_{ij} {d u^i \over ds} {d u^j \over ds} = ({d^2 u^i \over d s^2} + \Gamma_{jk}^i {d u^j \over ds} {d u^k \over ds}) \mathbf{r}_i + \mathbf{b}_{ij} {d u^i \over ds} {d u^j \over ds}

Отже контраваріантні координати геодезичної кривини дорівнюють:

(3) \qquad k^i = {d^2 u^i \over d s^2} + \Gamma_{jk}^i {d u^j \over ds} {d u^k \over ds}

Функціонал довжини кривої[ред.ред. код]

Найкоротшою лінією на многовиді, що сполучає дві точки многовида, є відрізок геодезичної лінії.

Розглянемо варіацію функціонала довжини кривої, параметр кривої t пробігає значення від a до b:

(4) \qquad S = \int_a^b \dot{\mathbf{r}} \, dt = \int_a^b \sqrt{\dot{\mathbf{r}}^2} \; dt

Перша варіація[ред.ред. код]

У точці локального екстремуму перша варіація дорівнює нулю (для спрощення запису в наступних перетвореннях не будемо писати межі інтегрування).

(5) \qquad \delta S = \int \delta \sqrt{\dot{\mathbf{r}}^2} \; dt = \int {\dot{\mathbf{r}} \over |\dot{\mathbf{r}}|} \cdot \delta \dot{\mathbf{r}} \; dt = - \int ({d \over dt} {\dot{\mathbf{r}} \over |\dot{\mathbf{r}}|}) \cdot \delta \mathbf{r} \; dt = - \int {d^2 \mathbf{r} \over d s^2} \cdot \delta \mathbf{r} \; ds = - \int \mathbf{k} \cdot \delta \mathbf{r} \; ds

В останній формулі варіація точок кривої \delta \mathbf{r} лежить у дотичному до многовида афінному просторі, і ми можемо записати:

\delta \mathbf{r} = \mathbf{r}_i \delta u^i

Оскільки варіації \delta u^i довільні (хоча малі), то для рівності нулю останнього інтеграла в формулі (5) треба, щоб вектор кривини кривої (2) був ортогональним до многовиду, тобто геодезична кривина (3) дорівнювала нулю:

(6) \qquad {d^2 u^i \over d s^2} + \Gamma_{jk}^i {d u^j \over ds} {d u^k \over ds} = 0

Формула (6) є рівнянням геодезичної лінії — диференційним рівнянням відносно невідомих функцій u^i = u^i(s) при заданій метриці на многовиді (а отже і заданих символах Крістофеля \Gamma_{jk}^i).

Друга варіація[ред.ред. код]

Повторимо обчислення варіації довжини кривої (4), але тепер будемо враховувати одночасно доданки першого й другого порядків. Для обчислень нам знадобиться розклад у ряд Тейлора (до членів другого порядку включно) функції квадратного кореня f(x) = \sqrt{x}:

f(x + \Delta x) = \sqrt{x + \Delta x} \approx \sqrt{x} + {1 \over 2 \sqrt{x}} \Delta x - {1 \over 8 x^{3 \over 2}} (\Delta x)^2

Підінтегральний вираз формули (4) для проварійованої кривої дорівнює:

\qquad \sqrt{(\dot{\mathbf{r}} + \delta \dot{\mathbf{r}})^2} = \sqrt{{\dot{\mathbf{r}}}^2 + (2(\dot{\mathbf{r}} \cdot \delta \dot{\mathbf{r}}) + (\delta \dot{\mathbf{r}})^2)}

або, розкладаючи в ряд з точністю до членів другого порядку:

(7)\qquad \sqrt{(\dot{\mathbf{r}} + \delta \dot{\mathbf{r}})^2} \approx |\dot{\mathbf{r}}| + {1 \over 2 |\dot{\mathbf{r}}|} (2 (\dot{\mathbf{r}} \cdot \delta \dot{\mathbf{r}}) + (\delta \dot{\mathbf{r}})^2) - {1 \over 8 |\dot{\mathbf{r}}|^3}(2 (\dot{\mathbf{r}} \cdot \delta \dot{\mathbf{r}})^2 + (\delta \dot{\mathbf{r}})^2)) \approx |\dot{\mathbf{r}}| + {\dot{\mathbf{r}} \over |\dot{\mathbf{r}}|}\delta \dot{\mathbf{r}} + {1 \over 2 |\dot{\mathbf{r}}|^3} ( \dot{\mathbf{r}}^2 (\delta \dot{\mathbf{r}})^2 - (\dot{\mathbf{r}} \cdot \delta \dot{\mathbf{r}})^2)

Розглянемо детальніше середній доданок в останньому виразі. У ньому ми маємо одиничний дотичний вектор \boldsymbol{\tau} = {\dot{\mathbf{r}} \over |\dot{\mathbf{r}}|} = {d \mathbf{r} \over ds}.

\int_a^b (\boldsymbol{\tau} \cdot \delta \dot{\mathbf{r}}) \; dt = - \int_a^b {d \boldsymbol{\tau} \over dt} \cdot \delta \mathbf{r} \; dt = - \int_0^S \mathbf{k} \cdot \delta \mathbf{r} \; ds

Варіація \delta \mathbf{r} за формулою Тейлора виражається через варіацію \delta u^i координат на многовиді з точністю до членів другого порядку:

\delta \mathbf{r} \approx \mathbf{r}_i \delta u^i + {1 \over 2} \mathbf{r}_{ij} \delta u^i \delta u^j

Збираючи все докупи, знаходимо першу й другу варіації, при цьому вважаючи параметр кривої натуральним:

(8)\qquad S(u + \delta u) = S(u) + \delta S + {1 \over 2}\delta^2 S + \cdots
(9) \qquad \delta S = - \int k_i \delta u^i \; ds
(10) \qquad \delta^2 S = \int \left ( -\mathbf{k} \cdot (\Gamma_{ij}^s \mathbf{r}_s + \mathbf{b}_{ij}) \delta u^i \delta u^j + (\delta \boldsymbol{\tau})^2 - (\boldsymbol{\tau} \cdot \delta \boldsymbol{\tau}) \right ) \; ds

Другу варіацію можна повністю подати через варіації координат \delta u^i, \delta \dot u^i = \delta \tau^i .

\delta \boldsymbol{\tau} = \delta (\mathbf{r}_i \tau^i) = \mathbf{r}_i \delta \tau^i + \mathbf{r}_{ij} \tau^i \delta u^j = (\delta \tau^i + \Gamma_{jk}^i \tau^k \delta u^j) \mathbf{r}_i +  \mathbf{b}_{ij} \tau^i \delta u^j

Позначимо \qquad D \tau^i варіацію одиничного дотичного вектора (разом із паралельним переносом на варіацію зміщення)

(11) \qquad D \tau^i = \delta \tau^i + \Gamma_{jk}^i \tau^k \delta u^j

Тоді обчислюємо, враховуючи ортогональність векторів \mathbf{r}_i, \mathbf{b}_{jk}:

(\delta \boldsymbol{\tau})^2 = (D \tau^i \mathbf{r}_i + b_{ij} \tau^i \delta u^j)^2 = g_{ij} D \tau^i D \tau^j + (\mathbf{b}_{ij} \cdot \mathbf{b}_{kl}) \tau^i \tau^k \delta u^j \delta u^l
(\boldsymbol{\tau} \cdot \delta \boldsymbol{\tau}) = g_{ij} \tau^i D \tau^j

І нарешті враховуємо зв'язок тензора Рімана через вектори повної кривини:

R_{ijkl} = (\mathbf{b}_{ik} \cdot \mathbf{b}_{jl}) - (\mathbf{b}_{il} \cdot \mathbf{b}_{jk})

Підставляємо обчислені вирази в другу варіацію:

(12) \qquad \delta^2 S = \int \left ( -\Gamma_{ij}^s k_s \delta u^i \delta u^j + {1 \over 2} g_{ij} g_{kl} (\tau^i \wedge D \tau^k) (\tau^j \wedge D \tau^l) - {1 \over 4} R_{ijkl} (\tau^i \wedge \delta u^j) (\tau^k \wedge \delta u^l)  \right) \; ds

Де введено позначення зовнішнього добутку векторів — бівектора, або орієнтованої площадки, побудованої на двох векторах:

a^i \wedge b^j = a^i b^j - a^j b^i

Обговорення формул варіацій геодезичної лінії[ред.ред. код]

В формулу (9) для першої варіації входить скалярний добуток геодезичної кривини на варіацію координати. Якщо поблизу геодезичної лінії провести хвилясту лінію, близьку до синусоїди з частотою \omega, то для цієї хвилястої лінії матимемо приблизно таку геодезичну кривину: k^i \approx - \omega^2 \delta u^i. У цьому випадку скалярний добуток буде від'ємним (в евклідовому просторі): k_i \delta u^i \approx - \omega^2 (\delta u^i)^2, а перша варіація (9) відповідно додатня: \delta S > 0. Це означає, що хвиляста лінія завжди довша за геодезичну. (Звичайно, в псевдоевклідовому просторі це не так, оскільки квадрат вектора може бути як додатнім, так і від'ємним. У загальній теорії відносності тіла рухаються по геодезичній не тому, що так коротше, а з іншої причини — за інтерференційним принципом Гюйгенса для хвиль, адже нульова перша варіація означає, що при русі двох хвиль близькими траєкторіями фаза хвиль збігається).

У формулі другої варіації (10) для геодезичної лінії перший доданок у підінтегральному виразі перетворюється на нуль. Другий доданок завжди додатній, як квадрат бівектора \tau^i \wedge D \tau^j. Третій доданок може бути як додатнім, так і від'ємним. Зокрема, у плоскому просторі тензор Рімана дорівнює нулю R_{ijkl} = 0, тому друга варіація завжди додатна, а отже будь-який відрізок геодезичної є локально найкоротшою лінією. Якщо ж третій доданок від'ємний, то може трапитись, що між точками можна провести іншу лінію, яка буде коротшою за першу. Наприклад, дуга великого кола на двовимірній сфері є геодезичною лінією: якщо така дуга коротша за \pi R, то вона буде найкоротшим шляхом між двома точками; якщо дуга дорівнює \pi R, то між двома точками (полюсами) можна провести багато однакових за довжиною геодезичних ліній (меридіанів); якщо ж довжина дуги великого кола більша \pi R, то кінцеві точки можна сполучити іншою дугою (близькою до геодезичної), яка матиме меншу довжину.

Взагалі можна довести, що на будь-якому многовиді досить короткий відрізок геодезичної завжди буде найкоротшим шляхом (на одиничній сфері «досить короткий» означає довжину менше π).

Рівняння геодезичної для довільного параметра[ред.ред. код]

Формула (6) справедлива для натурального параметра (тобто параметра довжини лінії), або для параметра, що пропорційний довжині лінії з одним і тим же коефіцієнтом пропорційності в усіх точках лінії. Але нам може знадобитися також і не натуральний параметр геодезичної лінії, наприклад якщо на двомірному многовиді (поверхні) задано координати x, y і ми шукаємо рівняння геодезичної у формі y = y(x).

Похідні по параметру t будемо позначати крапкою вгорі. Маємо такий зв'язок з похідними по натуральному параметру:

{d u^i \over ds} = {\dot u^i \over \dot s}
{d^2 u^i \over d s^2} = {d \over ds} \left ( {\dot u^i \over \dot s} \right) = {1 \over \dot s} {d \over dt} \left ( {\dot u^i \over \dot s} \right) = {1 \over \dot s^2} (\ddot u^i - {\ddot s \over \dot s} \dot u^i)

Підставляючи ці похідні в формулу (6) і помножуючи на \dot s^2, одержимо:

(13)\qquad \ddot u^i - {\ddot s \over \dot s} \dot u^i + \Gamma_{jk}^i \dot u^j \dot u^k = 0

Зауважимо, що формула (13), не розв'язана відносно других похідних, оскільки другі похідні координат входять в \ddot s.

Геодезична лінія на поверхні z = z(x,y)[ред.ред. код]

Виберемо на поверхні, заданої рівнянням z = z(x, y) координати u^1 = x, \; u^2 = y. Квадрат елемента довжини запишеться (частинні похідні позначаємо індексом внизу z_x = {\partial z / \partial x}, \; z_y = {\partial z / \partial y}):

\qquad d s^2 = d x^2 + d y^2 + d z^2 = (1 + z_x^2) d x^2 + 2 z_x z_y d x d y + (1 + z_y^2) d y^2

Звідки метричний тензор:

\qquad g_{ij} = \delta_{ij} + z_i z_j

Цей тензор має два власні вектори : z_i і ортогональний до нього a_i. Маємо:

\qquad \sum_j g_{ij} z_j = z_i + z_i \sum_j z_j^2 = \lambda z_i

де власне число

\qquad \lambda = 1 + \sum_i z_i^2 = 1 + z_x^2 + z_y^2

Для ортогонального вектора a_i власне число дорівнює одиниці:

\qquad \sum_j g_{ij} a_j = a_i + z_i \sum_j z_j a_j = a_i

Визначник метричного тензора дорівнює добутку цих двох власних чисел:

\qquad g = \det(g_{ij}) = 1 \cdot \lambda = 1 + z_x^2 + z_y^2

Тепер ми можемо знайти символи Крістофеля:

\qquad \Gamma_{jk, i} = {1 \over 2} (\partial_j g_{ik} + \partial_k g_{ij} - \partial_i g_{jk}) = {1 \over 2} (\partial_j (z_i z_k) + \partial_k (z_i z_j) - \partial_i (z_j z_k)) = z_i z_{jk}

Оскільки вектор градієнта z_i буде власним вектором для оберненої матриці g^{ij} з власним числом {1 \over \lambda} = {1 \over g}, то легко знаходяться і символи Крістофеля з верхніми індексами:

(14) \qquad \Gamma_{jk}^i = g^{is} \Gamma_{jk,s} = (g^{is} z_s) z_{jk} = z_i {z_{jk} \over g}

Користуючись щойно написаною формулою, ми можемо записати формулу (13) геодезичної лінії, з параметром t = x = u^1, помітивши, що:

\qquad \dot u^1 = x\,' = 1, \qquad \dot u^2 = y\,', \qquad \ddot u^1 = 0, \qquad \ddot u^2 = y\,''

Таким чином, маємо два рівняння:

(15) \qquad \ddot u^1 - {\ddot s \over \dot s} \dot u^1 + \Gamma_{jk}^1 \dot u^j \dot u^k =  - {\ddot s \over \dot s} + {z_x \over g} \Phi = 0
(16) \qquad \ddot u^2 - {\ddot s \over \dot s} \dot u^2 + \Gamma_{jk}^2 \dot u^j \dot u^k = y\,'' - {\ddot s \over \dot s} y\,' + {z_y \over g} \Phi = 0

Де введено позначення:

\qquad \Phi = z_{jk} \dot u^i \dot u^k = z_{xx} + 2 z_{xy} y\,' + z_{yy} y\,'^2

Обчислюючи \ddot s \over \dot s можна показати, що рівняння (15) і (16) еквівалентні між собою, і еквівалентні простішому рівнянню, яке утворюється при відніманні від (16) рівняння (15), домноженого на похідну y\,'.

\qquad y\,'' + {(z_y - z_x y\,') \Phi \over g} = 0

звідки

\qquad g y\,'' = (z_x y\,' - z_y) \Phi
(17) \qquad (1 + z_x^2 + z_y^2) y\,'' = (z_x y\,' - z_y) (z_{xx} + 2 z_{xy} y\,' + z_{yy} y\,'^2 )

Примітки[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]