Геодезична лінія

Геодези́чна лі́нія (рос.геодезическая линия, англ. geodesic line, нім. geodätische Linie f) — найкоротша відстань між двома точками, зокрема:

• пряма — на площині,
• дуга великого кола — на сфері,
• крива двоякої кривизни — на сфероїді. При невеликій відстані (десятки кілометрів) мало відрізняється від відповідного нормального перетину, який є еліпсом.
• Світова лінія вільної матеріальної точки в загальній теорії відностності є геодезичною лінією в просторі Мінковського, характеристики якого визначені розподілом і рухом матерії.

Математичний опис

Крива на многовиді називається геодезичною лінією, якщо в кожній її точці головна нормаль кривої ортогональна до многовиду.

Властивості кривої на многовиді

В охоплюючому многовид евклідовому просторі рівняння кривої задається функцією радіус-вектора $\mathbf{r}$ точки кривої від параметра $t$ кривої: $\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)$. Оскільки ця крива також лежить на $n$-вимірному многовиді, який задається рівнянням: $\mathbf{r} = \mathbf{r}(u^1, u^2, ... u^n)$, то рівняння кривої дається функціями координат многовида від параметра кривої $t$:

$(1) \qquad u^i = u^i (t) \qquad i = 1, 2, ... n$

Вектор кривини кривої є другою похідною від радіус-вектора по натуральному параметру $s$ кривої (дивіться статтю Крива):

$\qquad \mathbf{k} = {d^2 \mathbf{r} \over d s^2}$

Одиничний вектор $n$ вздовж вектора кривини $\mathbf{k}$ є головною нормаллю кривої.

Вектор кривини $\mathbf{k}$ можна розкласти на дві частини: паралельну і ортогональну до многовиду.

$\qquad \mathbf{k} = \mathbf{k}_{||} + \mathbf{k}_{\bot}$

Паралельна частина кривини $\mathbf{k}_{||}$ називається геодезичною кривиною кривої. Згідно з означенням, геодезична кривина геодезичної лінії дорівнює нулю.

Обчислимо геодезичну кривину:

$(2) \qquad \mathbf{k} = {d^2 \mathbf{r}(u(t)) \over d s^2} = {d \over ds} \left ( \mathbf{r}_i {d u^i \over ds} \right ) = \mathbf{r}_i {d^2 u^i \over d s^2} + \mathbf{r}_{ij} {d u^i \over ds} {d u^j \over ds} = ({d^2 u^i \over d s^2} + \Gamma_{jk}^i {d u^j \over ds} {d u^k \over ds}) \mathbf{r}_i + \mathbf{b}_{ij} {d u^i \over ds} {d u^j \over ds}$

Отже контраваріантні координати геодезичної кривини дорівнюють:

$(3) \qquad k^i = {d^2 u^i \over d s^2} + \Gamma_{jk}^i {d u^j \over ds} {d u^k \over ds}$

Функціонал довжини кривої

Тепер доведемо, що найкоротшою лінією на многовиді, що сполучає дві точки многовида, є відрізок геодезичної лінії.

Для цього розглянемо варіацію функціонала довжини кривої(дивіться також Варіаційне числення), параметр кривої $t$ пробігає значення від $a$ до $b$:

$(4) \qquad S = \int_a^b |\dot \mathbf{r}| dt = \int_a^b \sqrt{\dot \mathbf{r}^2} \; dt$

Перша варіація

В точці локального екстремума перша варіація дорівнює нулю (для спрощення запису в наступних перетвореннях не будемо писати межі інтегрування).

$(5) \qquad \delta S = \int \delta \sqrt{\dot \mathbf{r}^2} \; dt = \int {\dot \mathbf{r} \over |\dot \mathbf{r}|} \cdot \delta \dot \mathbf{r} \; dt = - \int ({d \over dt} {\dot \mathbf{r} \over |\dot \mathbf{r}|}) \cdot \delta \mathbf{r} \; dt = - \int {d^2 \mathbf{r} \over d s^2} \cdot \delta \mathbf{r} \; ds = - \int \mathbf{k} \cdot \delta \mathbf{r} \; ds$

В останній формулі варіація точок кривої $\delta \mathbf{r}$ лежить в дотичному до многовида афінному просторі, і ми можемо записати:

$\delta \mathbf{r} = \mathbf{r}_i \delta u^i$

Оскільки варіації $\delta u^i$ довільні (хоча малі), то для рівності нулю останнього інтеграла в формулі (5) треба, щоб вектор кривини кривої (2) був ортогональним до многовиду, тобто геодезична кривина (3) дорівнювала нулю:

$(6) \qquad {d^2 u^i \over d s^2} + \Gamma_{jk}^i {d u^j \over ds} {d u^k \over ds} = 0$

Формула (6) є рівнянням геодезичної лінії - диференційним рівнянням відносно невідомих функцій $u^i = u^i(s)$ при заданій метриці на многовиді (а отже і заданих символах Крістофеля $\Gamma_{jk}^i$).

Друга варіація

Повторимо обчислення варіації довжини кривої (4), але тепер будемо враховувати одночасно доданки першого і другого порядків. Для обчислень нам знадобиться розклад в ряд Тейлора (до членів другого порядку включно) функції квадратного кореня $f(x) = \sqrt{x}$:

$f(x + \Delta x) = \sqrt{x + \Delta x} \approx \sqrt{x} + {1 \over 2 \sqrt{x}} \Delta x - {1 \over 8 x^{3 \over 2}} (\Delta x)^2$

Підінтегральний вираз формули (4) для проварійованої кривої дорівнює:

$\qquad \sqrt{(\dot \mathbf{r} + \delta \dot \mathbf{r})^2} = \sqrt{{\dot \mathbf{r}}^2 + (2(\dot \mathbf{r} \cdot \delta \dot \mathbf{r}) + (\delta \dot \mathbf{r})^2)}$

або, розкладаючи в ряд з точністю до членів другого порядку:

$(7)\qquad \sqrt{(\dot \mathbf{r} + \delta \dot \mathbf{r})^2} \approx |\dot \mathbf{r}| + {1 \over 2 |\dot \mathbf{r}|} (2 (\dot \mathbf{r} \cdot \delta \dot \mathbf{r}) + (\delta \dot \mathbf{r})^2) - {1 \over 8 |\dot \mathbf{r}|^3}(2 (\dot \mathbf{r} \cdot \delta \dot \mathbf{r})^2 + (\delta \dot \mathbf{r})^2)) \approx |\dot \mathbf{r}| + {\dot \mathbf{r} \over |\dot \mathbf{r}|}\delta \dot \mathbf{r} + {1 \over 2 |\dot \mathbf{r}|^3} ( \dot \mathbf{r}^2 (\delta \dot \mathbf{r})^2 - (\dot \mathbf{r} \cdot \delta \dot \mathbf{r})^2)$

Розглянемо детальніше середній доданок в останньому виразі. В ньому ми маємо одиничний дотичний вектор $\boldsymbol{\tau} = {\dot \mathbf{r} \over |\dot \mathbf{r}|} = {d \mathbf{r} \over ds}$.

$\int_a^b (\boldsymbol{\tau} \cdot \delta \dot \mathbf{r}) \; dt = - \int_a^b {d \boldsymbol{\tau} \over dt} \cdot \delta \mathbf{r} \; dt = - \int_0^S \mathbf{k} \cdot \delta \mathbf{r} \; ds$

Варіація $\delta \mathbf{r}$ за формулою Тейлора виражається через варіацію $\delta u^i$ координат на многовиді з точністю до членів другого порядку:

$\delta \mathbf{r} \approx \mathbf{r}_i \delta u^i + {1 \over 2} \mathbf{r}_{ij} \delta u^i \delta u^j$

Збираючи все докупи, знаходимо першу і другу варіації, при цьому вважаючи параметр кривої натуральним:

$(8)\qquad S(u + \delta u) = S(u) + \delta S + {1 \over 2}\delta^2 S + \cdots$

$(9) \qquad \delta S = - \int k_i \delta u^i \; ds$

$(10) \qquad \delta^2 S = \int \left ( -\mathbf{k} \cdot (\Gamma_{ij}^s \mathbf{r}_s + \mathbf{b}_{ij}) \delta u^i \delta u^j + (\delta \boldsymbol{\tau})^2 - (\boldsymbol{\tau} \cdot \delta \boldsymbol{\tau}) \right ) \; ds$

Другу варіацію можна повністю виразити через варіації координат $\delta u^i, \delta \dot u^i = \delta \tau^i$ .

$\delta \boldsymbol{\tau} = \delta (\mathbf{r}_i \tau^i) = \mathbf{r}_i \delta \tau^i + \mathbf{r}_{ij} \tau^i \delta u^j = (\delta \tau^i + \Gamma_{jk}^i \tau^k \delta u^j) \mathbf{r}_i + \mathbf{b}_{ij} \tau^i \delta u^j$

Позначимо $\qquad D \tau^i$ варіацію одиничного дотичного вектора (разом з паралельним переносом на варіацію зміщення)

$(11) \qquad D \tau^i = \delta \tau^i + \Gamma_{jk}^i \tau^k \delta u^j$

Тоді обчислюємо, враховуючи ортогональність векторів $\mathbf{r}_i, \mathbf{b}_{jk}$:

$(\delta \boldsymbol{\tau})^2 = (D \tau^i \mathbf{r}_i + b_{ij} \tau^i \delta u^j)^2 = g_{ij} D \tau^i D \tau^j + (\mathbf{b}_{ij} \cdot \mathbf{b}_{kl}) \tau^i \tau^k \delta u^j \delta u^l$

$(\boldsymbol{\tau} \cdot \delta \boldsymbol{\tau}) = g_{ij} \tau^i D \tau^j$

І нарешті враховуємо зв'язок тензора Рімана через вектори повної кривини:

$R_{ijkl} = (\mathbf{b}_{ik} \cdot \mathbf{b}_{jl}) - (\mathbf{b}_{il} \cdot \mathbf{b}_{jk})$

Підставляємо обчислені вирази в другу варіацію:

$(12) \qquad \delta^2 S = \int \left ( -\Gamma_{ij}^s k_s \delta u^i \delta u^j + {1 \over 2} g_{ij} g_{kl} (\tau^i \wedge D \tau^k) (\tau^j \wedge D \tau^l) - {1 \over 4} R_{ijkl} (\tau^i \wedge \delta u^j) (\tau^k \wedge \delta u^l) \right) \; ds$

Де введено позначення зовнішнього добутку векторів - бівектора, або орієнтованої площадки, побудованої на двох векторах:

$a^i \wedge b^j = a^i b^j - a^j b^i$

Обговорення формул варіацій геодезичної лінії

В формулу (9) для першої варіації входить скалярний добуток геодезичної кривини на варіацію координати. Якщо поблизу геодезичної лінії провести хвилясту лінію, близьку до синусоїди з частотою $\omega$, то для цієї хвилястої лінії матимемо приблизно таку геодезичну кривину: $k^i \approx - \omega^2 \delta u^i$. В цьому випадку скалярний добуток буде від'ємним (в евклідовому просторі): $k_i \delta u^i \approx - \omega^2 (\delta u^i)^2$, а перша варіація (9) відповідно додатня: $\delta S > 0$. Це означає, що хвиляста лінія завжди довша за геодезичну. (Звичайно, в псевдоевклідовому просторі це не так, оскільки квадрат вектора може бути як додатнім, так і від'ємним. У загальній теорії відносності тіла рухаються по геодезичній не тому, що так коротше, а з іншої причини - за інтерференційним принципом Гюйгенса для хвиль, адже нульова перша варіація означає, шо при русі двох хвиль близькими траєкторіями фаза хвиль збігається).

У формулі другої варіації (10) для геодезичної лінії перший доданок в підінтегральному виразі перетворюється в нуль. Другий доданок завжди додатній, як квадрат бівектора $\tau^i \wedge D \tau^j$. Третій доданок може бути як додатнім, так і від'ємним. Зокрема в плоскому просторі тензор Рімана дорівнює нулю $R_{ijkl} = 0$, тому друга варіація завжди додатня, а отже будь-який відрізок геодезичної є локально найкоротшою лінією. Якщо ж третій доданок від'ємний, то може трапитись, що поблизу геодезичної лінії можна провести іншу лінію (звісно не хвилясту!), яка буде коротша за геодезичну. Прикладом служить дуга великого кола на одиничній двовимірній сфері (це геодезична лінія): якщо дуга коротша за $\pi$, то вона є найкоротшим шляхом між двома точками; якщо дуга дорівнює $\pi$, то між двома точками (полюсами) можна провести багато однакових за довжиною ліній (меридіанів); якщо ж довжина дуги великого кола більша $\pi$, то кінцеві точки можна сполучити дугою (уже не самого великого) кола, близькою до геодезичної, яка матиме меншу довжину.

Взагалі можна показати, що на будь-якому многовиді достатньо короткий відрізок геодезичної є найкоротшим шляхом (на одиничній сфері достатньо короткий означає менше $\pi$).

Рівняння геодезичної для довільного параметра

Формула (6) справедлива для натурального параметра (тобто параметра довжини лінії), або для параметра, що пропорційний довжині лінії з одним і тим же коефіцієнтом пропорційності в усіх точках лінії. Але нам може знадобитися також і не натуральний параметр геодезичної лінії, наприклад якщо на двомірному многовиді (поверхні) задано координати $x, y$ і ми шукаємо рівняння геодезичної у формі $y = y(x)$.

Похідні по параметру $t$ будемо позначати крапкою вгорі. Маємо такий зв'язок з похідними по натуральному параметру:

${d u^i \over ds} = {\dot u^i \over \dot s}$

${d^2 u^i \over d s^2} = {d \over ds} \left ( {\dot u^i \over \dot s} \right) = {1 \over \dot s} {d \over dt} \left ( {\dot u^i \over \dot s} \right) = {1 \over \dot s^2} (\ddot u^i - {\ddot s \over \dot s} \dot u^i)$

Підставляючи ці похідні в формулу (6) і домножуючи на $\dot s^2$, одержимо:

$(13)\qquad \ddot u^i - {\ddot s \over \dot s} \dot u^i + \Gamma_{jk}^i \dot u^j \dot u^k = 0$

Відмітимо, що формула (13), не розвязана відносно других похідних, оскільки другі похідні координат входять в $\ddot s$.

Геодезична лінія на поверхні $z = z(x,y)$

Виберемо на поверхні, заданої рівнянням $z = z(x, y)$ координати $u^1 = x, \; u^2 = y$. Квадрат елемента довжини запишеться (частинні похідні позначаємо індексом внизу $z_x = {\partial z / \partial x}, \; z_y = {\partial z / \partial y}$):

$\qquad d s^2 = d x^2 + d y^2 + d z^2 = (1 + z_x^2) d x^2 + 2 z_x z_y d x d y + (1 + z_y^2) d y^2$

Звідки метричний тензор:

$\qquad g_{ij} = \delta_{ij} + z_i z_j$

Цей тензор має два власні вектори : $z_i$ і ортогональний до нього $a_i$. Маємо:

$\qquad \sum_j g_{ij} z_j = z_i + z_i \sum_j z_j^2 = \lambda z_i$

де власне число

$\qquad \lambda = 1 + \sum_i z_i^2 = 1 + z_x^2 + z_y^2$

Для ортогонального вектора $a_i$ власне число дорівнює одиниці:

$\qquad \sum_j g_{ij} a_j = a_i + z_i \sum_j z_j a_j = a_i$

Визначник метричного тензора дорівнює добутку цих двох власних чисел:

$\qquad g = \det(g_{ij}) = 1 \cdot \lambda = 1 + z_x^2 + z_y^2$

Тепер ми можемо знайти символи Крістофеля:

$\qquad \Gamma_{jk, i} = {1 \over 2} (\partial_j g_{ik} + \partial_k g_{ij} - \partial_i g_{jk}) = {1 \over 2} (\partial_j (z_i z_k) + \partial_k (z_i z_j) - \partial_i (z_j z_k)) = z_i z_{jk}$

Оскільки вектор градієнта $z_i$ буде власним вектором для оберненої матриці $g^{ij}$ з власним числом ${1 \over \lambda} = {1 \over g}$, то легко знаходяться і символи Крістофеля з верхніми індексами:

$(14) \qquad \Gamma_{jk}^i = g^{is} \Gamma_{jk,s} = (g^{is} z_s) z_{jk} = z_i {z_{jk} \over g}$

Користуючись щойно написаною формулою, ми можемо записати формулу (13) геодезичної лінії, з параметром $t = x = u^1$, помітивши що:

$\qquad \dot u^1 = x\,' = 1, \qquad \dot u^2 = y\,', \qquad \ddot u^1 = 0, \qquad \ddot u^2 = y\,''$

Таким чином маємо два рівняння:

$(15) \qquad \ddot u^1 - {\ddot s \over \dot s} \dot u^1 + \Gamma_{jk}^1 \dot u^j \dot u^k = - {\ddot s \over \dot s} + {z_x \over g} \Phi = 0$

$(16) \qquad \ddot u^2 - {\ddot s \over \dot s} \dot u^2 + \Gamma_{jk}^2 \dot u^j \dot u^k = y\,'' - {\ddot s \over \dot s} y\,' + {z_y \over g} \Phi = 0$

Де введено позначення:

$\qquad \Phi = z_{jk} \dot u^i \dot u^k = z_{xx} + 2 z_{xy} y\,' + z_{yy} y\,'^2$

Обчислюючи $\ddot s \over \dot s$ можна показати, що рівняння (15) і (16) еквівалентні між собою, і еквівалентні простішому рівняню, яке утворюється при відніманні від (16) рівняння (15), домноженого на похідну $y\,'$.

$\qquad y\,'' + {(z_y - z_x y\,') \Phi \over g} = 0$

звідки

$\qquad g y\,'' = (z_x y\,' - z_y) \Phi$

$(17) \qquad (1 + z_x^2 + z_y^2) y\,'' = (z_x y\,' - z_y) (z_{xx} + 2 z_{xy} y\,' + z_{yy} y\,'^2 )$

Див. також

• Символи Крістофеля

Література

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.
• Мала гірнича енциклопедія. В 3-х т. / За ред. В. С. Білецького. — Донецьк: Донбас, 2004. — ISBN 966-7804-14-3.