Геометрична ймовірність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Геометрична ймовірність — це поняття ймовірності, що запроваджується так: Нехай \Omega — деяка підмножина прямої, площини чи простору. Випадкова подія A — підмножина \Omega. Тоді ймовірність випадкової події визначається формулою: P(A)=\frac{m(A)}{m(\Omega)} де m(A),\, m(\Omega) — довжина, площа чи об'єм множин A та \Omega.

Це пов'язане з інтерпретацією ймовірності як міри на обраному просторі елементарних подій. В даному випадку він збігається з евклідовим простором.

Використання геометричної ймовірності[ред.ред. код]

  • Голка Бюффона: Яка ймовірність того, що голка кинута на поверхню розграфлену паралельними прямими розташованими через однакові проміжки перетне одну з цих прямих?
  • Парадокс Бертрана: Яке матсподівання довжини випадково обраної хорди на одиничному колі?
  • Яка ймовірність того, що три випадково обрані на площині точки формують гострокутній трикутник?
  • Та подібні…

Формально[ред.ред. код]

Стохастичний експеримент полягає в обранні навмання точки з множини B \subseteq \mathbb{R}^n. За його математичну модель прийнято розглядати ймовірнісний простір \{ B, \mathfrak{B}^n_B, P \}, де B — борелева множина з \mathbb{R}^n, \mathfrak{B}^n_B — клас борелевих підмножин множини B, P — ймовірність на класі \mathfrak{B}^n_B, яка для кожного A з цього класу визначається рівністю:

P(A) = \frac{L(A)}{L(B)},

де L — міра Лебега на \mathbb{R}^n (значення L на паралелепіпедах [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \times \ldots \times [a_n,b_n], дорівнює \prod_{i=1}^n (b_i - a_i)).

Так визначену ймовірність назвемо геометричною (зрозуміло, що множина B має задовольняти умову 0 < L(B) < \infty.

Посилання[ред.ред. код]

  1. УІТО: Теорія ймовірності та математична статистика — Термінологічний словник
  2. Турчин В.М. (2003). Теорія ймовірностей. Основні поняття, приклади, задачі. (укр). Київ: А.С.К. ISBN 966-319-002-7.