Геометричне місце точок

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Геометричне місце точок (ГМТ) — мовне означення в математиці, вживане для визначення геометричної фігури як множини точок, що володіють деякою властивістю.

Приклади[ред.ред. код]

  • Серединний перпендикуляр до відрізка є геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців відрізка.
  • Коло є геометричним місцем точок, рівновіддалених від даної точки, що є центром кола.
  • Парабола є геометричним місцем точок, рівновіддалених від точки (що зветься фокусом) та прямої (що зветься директрисою)
  • Бісектриса є геометричне місцем точок, рівновіддалених від сторін кута.

Формальне визначення[ред.ред. код]

У загальному випадку, геометричне місце точок формулюється параметричним предикатом, аргументом якого є точка даного лінійного простору. Параметри предиката можуть носити різний тип. Предикат називається детермінантою геометричного місця точок. Параметри предиката називаються диференціалами геометричного місця точок (не плутати з диференціалом в аналізі).

Роль диференціалів полягає у введенні видових відмінностей у фігуру. Кількість диференціалів може бути будь-якою; диференціалів може й зовсім не бути.

Якщо задані детермінант P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots), де M — точка, a,\;b,\;c,\;\ldots — диференціали, то шукану фігуру A задають у вигляді: « A  — геометричне місце точок  M , таких, що P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots)». Далі звичайно вказується роль диференціалів, їм даються назви щодо даної конкретної фігурі. Під власне фігурою розуміють сукупність (множину) точок  M , для яких для кожного конкретного набору значень a,\;b,\;c,\;\ldots висловлювання P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots) перетворюється в тотожність. Кожен конкретний набір значень диференціалів визначає окрему фігуру, кожну з яких і всіх їх у сукупності іменують назвою фігури, яка задається через геометричне місце точок.

У словесному формулюванні предикативне висловлювання озвучують літературно, тобто із залученням різного роду зворотів з метою милозвучності. Іноді, у випадку простих детермінантів, взагалі обходяться без буквених позначень.

Приклад: параболу задамо як множину всіх таких точок  M , що відстань від  M до точки  F дорівнює відстані від  M до прямої  l . Тоді диференціали параболи —  F і  l ; детермінант — предикат P(M,\;F,\;l)=(\rho(M,\;F)=\rho_l(M,\;l)), де \rho — відстань між двома точками (метрика), \rho_l — відстань від точки до прямої. І кажуть: «Парабола — геометричне місце точок  M , рівновіддалених від точки  F і прямої  l . Точку  F називають фокусом параболи, а пряму  l  — директрисою».

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]